VI.3. Groupes abéliens de torsion
Attention. Comme cela a été mentionné au chapitre III, ce résultat de comparaison entre le rang d’un groupe libre et le rang de ses sous-groupes est faux pour
les groupes non abéliens.
Corollaire VI.2.4. Si G est un groupe abélien engendré par n éléments, tout sousgroupe H de G admet une partie génératrice ayant au plus n éléments.
Démonstration. D’après la démonstration du corollaire (VI.2.1), il existe un morphisme surjectif de groupe f : Z n → G. L’image réciproque de H par f est un
sous-groupe K de Z n , donc libre de rang p n. L’image par f d’une base de K
est une partie génératrice de H.
Remarque VI.2.4. Si G est un groupe libre de rang fini, si H et K sont deux sousgroupes tels que G = H ⊕ K, alors rang(G) = rang(H) + rang(K).
VI.3. Groupes abéliens de torsion
Définition VI.3.1. Un groupe abélien G est dit de torsion si tout élément
de G est d’ordre fini (i.e. ∀x ∈ G, ∃n ∈ Z tel que nx = 0). Il est dit sans
torsion si tout élément, différent de l’élément neutre, est d’ordre infini (i.e.
∀x ∈ G, x = 0, nx = 0 implique n = 0).
Exemples VI.3.1.
a) (Z, +) est sans torsion. Plus généralement, un groupe abélien libre est sans
torsion.
b) (Q, +) est sans torsion.
c) Tout groupe fini est de torsion.
d) (Q/Z, +) est de torsion.
e) (C ∗ , ×) possède des éléments d’ordre infini et des éléments, différents de
l’élément neutre, d’ordre fini.
Proposition - Définition VI.3.1. Soit G un groupe abélien. L’ensemble formé des
éléments d’ordre fini de G, est un sous-groupe T (G) de G. C’est le
sous-groupe de torsion de G. Si T (G) = G, le groupe G/T (G) est sans torsion.
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Attention. Comme cela a été mentionné au chapitre III, ce résultat de comparaison entre le rang d’un groupe libre et le rang de ses sous-groupes est faux pour
les groupes non abéliens.
Corollaire VI.2.4. Si G est un groupe abélien engendré par n éléments, tout sousgroupe H de G admet une partie génératrice ayant au plus n éléments.
Démonstration. D’après la démonstration du corollaire (VI.2.1), il existe un morphisme surjectif de groupe f : Z n → G. L’image réciproque de H par f est un
sous-groupe K de Z n , donc libre de rang p n. L’image par f d’une base de K
est une partie génératrice de H.
Remarque VI.2.4. Si G est un groupe libre de rang fini, si H et K sont deux sousgroupes tels que G = H ⊕ K, alors rang(G) = rang(H) + rang(K).
VI.3. Groupes abéliens de torsion
Définition VI.3.1. Un groupe abélien G est dit de torsion si tout élément
de G est d’ordre fini (i.e. ∀x ∈ G, ∃n ∈ Z tel que nx = 0). Il est dit sans
torsion si tout élément, différent de l’élément neutre, est d’ordre infini (i.e.
∀x ∈ G, x = 0, nx = 0 implique n = 0).
Exemples VI.3.1.
a) (Z, +) est sans torsion. Plus généralement, un groupe abélien libre est sans
torsion.
b) (Q, +) est sans torsion.
c) Tout groupe fini est de torsion.
d) (Q/Z, +) est de torsion.
e) (C ∗ , ×) possède des éléments d’ordre infini et des éléments, différents de
l’élément neutre, d’ordre fini.
Proposition - Définition VI.3.1. Soit G un groupe abélien. L’ensemble formé des
éléments d’ordre fini de G, est un sous-groupe T (G) de G. C’est le
sous-groupe de torsion de G. Si T (G) = G, le groupe G/T (G) est sans torsion.
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