VI.4. Structure des groupes abéliens de type fini
Démonstration. Il est clair que l’image dans G/T (G) d’une partie génératrice de
G est une partie génératrice de G/T (G), il est donc de type fini. On sait, d’après
la proposition-définition (VI.3.1), que le groupe G/T (G) est sans torsion, donc,
d’après la proposition (VI.3.3), G/T (G) est libre, de rang fini.
D’autre part, la projection canonique π : G → G/T (G) a pour noyau T (G)
et, d’après le corollaire (VI.2.1), la remarque (VI.2.2) et l’exercice (VI.2), on a
G T (G) ⊕ G/T (G). Il existe donc un sous-groupe libre de rang fini F de G,
isomorphe à G/T (G), tel que G = T (G) ⊕ F .
Supposons qu’on ait G = H ⊕ K, avec H groupe fini et K groupe libre de rang
fini. Puisque H est un sous-groupe fini de G, on a H ⊆ T (G). D’autre part, tout
élément x = 0 de T (G) s’écrit de manière unique x = h + k avec h ∈ H et k ∈ K.
En notant p l’ordre de x, on a ph + pk = 0, i.e. ph = −pk. Mais H ∩ K = {0},
d’où pk = 0 et, puisque K est libre, k = 0. Par conséquent H = T (G) ; on en
déduit que K G/T (G).
La décomposition ci-dessus étant unique, à isomorphisme près, le rang du
groupe libre F est parfaitement déterminé, et donc le groupe F aussi (à isomorphisme près). Nous allons maintenant donner une description précise de la partie
de torsion comme somme directe de groupes cycliques.
Pour cela, nous allons d’abord établir le résultat fondamental suivant :
Théorème VI.4.1. Soient G un groupe abélien libre de rang fini n et H un sousgroupe de G. Alors
(i) Il existe une base (e 1 , . . . , e n ) de G, un entier q n, une famille d’entiers
positifs a 1 , . . . , a q tels que
a) a i divise a i+1 , 1 i q − 1
b) (a 1 e 1 , . . . , a q e q ) soit une base de H
(ii) Les entiers q, a 1 , . . . , a q vérifiant ces conditions sont uniquement déterminés par la donnée de G et H.
Démonstration. (i). Si H = {0} le résultat est trivial ; on suppose donc H = {0}.
Nous allons faire un raisonnement par récurrence sur n.
Si n = 1, le groupe G est isomorphe à Z et le résultat concernant les sousgroupes de Z est déjà connu.
On suppose le théorème vrai pour les groupes libres de rang inférieur ou égal
à (n − 1).
Soit (x i ) 1in une base de G et (π i ) 1in les fonctions coordonnées associées à
cette base. Rappelons qu’elles sont définies de la manière suivante : tout élément x
de G s’écrivant de manière unique x =
1in n i x i , on pose π i (x) = n i .
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Démonstration. Il est clair que l’image dans G/T (G) d’une partie génératrice de
G est une partie génératrice de G/T (G), il est donc de type fini. On sait, d’après
la proposition-définition (VI.3.1), que le groupe G/T (G) est sans torsion, donc,
d’après la proposition (VI.3.3), G/T (G) est libre, de rang fini.
D’autre part, la projection canonique π : G → G/T (G) a pour noyau T (G)
et, d’après le corollaire (VI.2.1), la remarque (VI.2.2) et l’exercice (VI.2), on a
G T (G) ⊕ G/T (G). Il existe donc un sous-groupe libre de rang fini F de G,
isomorphe à G/T (G), tel que G = T (G) ⊕ F .
Supposons qu’on ait G = H ⊕ K, avec H groupe fini et K groupe libre de rang
fini. Puisque H est un sous-groupe fini de G, on a H ⊆ T (G). D’autre part, tout
élément x = 0 de T (G) s’écrit de manière unique x = h + k avec h ∈ H et k ∈ K.
En notant p l’ordre de x, on a ph + pk = 0, i.e. ph = −pk. Mais H ∩ K = {0},
d’où pk = 0 et, puisque K est libre, k = 0. Par conséquent H = T (G) ; on en
déduit que K G/T (G).
La décomposition ci-dessus étant unique, à isomorphisme près, le rang du
groupe libre F est parfaitement déterminé, et donc le groupe F aussi (à isomorphisme près). Nous allons maintenant donner une description précise de la partie
de torsion comme somme directe de groupes cycliques.
Pour cela, nous allons d’abord établir le résultat fondamental suivant :
Théorème VI.4.1. Soient G un groupe abélien libre de rang fini n et H un sousgroupe de G. Alors
(i) Il existe une base (e 1 , . . . , e n ) de G, un entier q n, une famille d’entiers
positifs a 1 , . . . , a q tels que
a) a i divise a i+1 , 1 i q − 1
b) (a 1 e 1 , . . . , a q e q ) soit une base de H
(ii) Les entiers q, a 1 , . . . , a q vérifiant ces conditions sont uniquement déterminés par la donnée de G et H.
Démonstration. (i). Si H = {0} le résultat est trivial ; on suppose donc H = {0}.
Nous allons faire un raisonnement par récurrence sur n.
Si n = 1, le groupe G est isomorphe à Z et le résultat concernant les sousgroupes de Z est déjà connu.
On suppose le théorème vrai pour les groupes libres de rang inférieur ou égal
à (n − 1).
Soit (x i ) 1in une base de G et (π i ) 1in les fonctions coordonnées associées à
cette base. Rappelons qu’elles sont définies de la manière suivante : tout élément x
de G s’écrivant de manière unique x =
1in n i x i , on pose π i (x) = n i .
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