VI.2. Groupes abéliens libres
Unicité de f : Soit f : G → A un autre morphisme de groupes vérifiant f ◦ j X = σ. Alors, pour tout élément x i de X, on a f (x i ) = f (x i ), d’où
f (x) = f (x) pour tout élément x de G.
On suppose maintenant que le groupe abélien G est tel que pour tout groupe
abélien A et toute application σ : X → A, il existe un unique morphisme de
groupes f : G → A tel que f ◦ j X = σ. C’est en particulier vérifié si A = Z (X)
est libre de base X et σ = i X est l’injection de X dans Z (X) . Le début de la
démonstration montre qu’il existe un morphisme de groupes g : A −→ G tel que
g ◦ i X = j X . On vérifie que les morphismes f et g sont réciproques l’un de l’autre.
Ce sont donc des isomorphismes.
Corollaire VI.2.1. Tout groupe abélien est isomorphe à un quotient d’un groupe
abélien libre.
Démonstration. Soit X une partie génératrice d’un groupe abélien G et σ l’inclusion de X dans G. On considère le groupe libre de base X, Z (X) , et j X l’inclusion
de X dans Z (X) . D’après le théorème (VI.2.2), il existe un morphisme de groupes
f : Z (X) → G tel que f ◦ j X = σ. Montrons que f est surjectif. En effet, tout
élément x de G s’écrit
x =
1lk
n l σ(x i l ) =
1lk
n l f (j X (x i l )) = f
⎛
⎝
1lk
n l j X (x i l )
⎞
⎠ .
On en déduit que le groupe G est isomorphe au groupe Z (X) /Ker(f ).
Corollaire VI.2.2. Si p : G −→ G est un homomorphisme surjectif de groupes
abéliens et si G est libre, alors il existe un homomorphisme de groupes abéliens
s : G −→ G tel que p ◦ s = id G . En particulier, s(G ) est un facteur direct de G.
Démonstration. Soit X une base de G . Puisque p est surjectif, il existe une application j : X → G telle que p ◦ j = id X . D’après le théorème (VI.2.2), il existe
un morphisme de groupes s : G → G tel que p ◦ s = id G . On déduit de la
proposition (VI.1.4) que s(G ) est facteur direct dans G.
Remarque VI.2.2. L’égalité p ◦ s = id G implique que le morphisme s est injectif et
donc que le groupe G est isomorphe au sous-groupe s(G ) de G. Par conséquent,
on peut dire que, sous les hypothèses du corollaire (VI.2.1), le groupe G est
isomorphe à un facteur direct du groupe G.
Exercice VI.2. Montrer que sous les hypothèses ci-dessus, on a
G = Ker(p) ⊕ s(G
).
Terminologie. Avec les notations ci-dessus, on dit que s est une section de p.
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Unicité de f : Soit f : G → A un autre morphisme de groupes vérifiant f ◦ j X = σ. Alors, pour tout élément x i de X, on a f (x i ) = f (x i ), d’où
f (x) = f (x) pour tout élément x de G.
On suppose maintenant que le groupe abélien G est tel que pour tout groupe
abélien A et toute application σ : X → A, il existe un unique morphisme de
groupes f : G → A tel que f ◦ j X = σ. C’est en particulier vérifié si A = Z (X)
est libre de base X et σ = i X est l’injection de X dans Z (X) . Le début de la
démonstration montre qu’il existe un morphisme de groupes g : A −→ G tel que
g ◦ i X = j X . On vérifie que les morphismes f et g sont réciproques l’un de l’autre.
Ce sont donc des isomorphismes.
Corollaire VI.2.1. Tout groupe abélien est isomorphe à un quotient d’un groupe
abélien libre.
Démonstration. Soit X une partie génératrice d’un groupe abélien G et σ l’inclusion de X dans G. On considère le groupe libre de base X, Z (X) , et j X l’inclusion
de X dans Z (X) . D’après le théorème (VI.2.2), il existe un morphisme de groupes
f : Z (X) → G tel que f ◦ j X = σ. Montrons que f est surjectif. En effet, tout
élément x de G s’écrit
x =
1lk
n l σ(x i l ) =
1lk
n l f (j X (x i l )) = f
⎛
⎝
1lk
n l j X (x i l )
⎞
⎠ .
On en déduit que le groupe G est isomorphe au groupe Z (X) /Ker(f ).
Corollaire VI.2.2. Si p : G −→ G est un homomorphisme surjectif de groupes
abéliens et si G est libre, alors il existe un homomorphisme de groupes abéliens
s : G −→ G tel que p ◦ s = id G . En particulier, s(G ) est un facteur direct de G.
Démonstration. Soit X une base de G . Puisque p est surjectif, il existe une application j : X → G telle que p ◦ j = id X . D’après le théorème (VI.2.2), il existe
un morphisme de groupes s : G → G tel que p ◦ s = id G . On déduit de la
proposition (VI.1.4) que s(G ) est facteur direct dans G.
Remarque VI.2.2. L’égalité p ◦ s = id G implique que le morphisme s est injectif et
donc que le groupe G est isomorphe au sous-groupe s(G ) de G. Par conséquent,
on peut dire que, sous les hypothèses du corollaire (VI.2.1), le groupe G est
isomorphe à un facteur direct du groupe G.
Exercice VI.2. Montrer que sous les hypothèses ci-dessus, on a
G = Ker(p) ⊕ s(G
).
Terminologie. Avec les notations ci-dessus, on dit que s est une section de p.
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