Chapitre VI. Groupes abéliens
B - Rang d’un groupe abélien libre
Soient X et Y deux ensembles équipotents et ϕ : X → Y une application bijective. On considère les groupes abéliens libres Z (X) et Z (Y ) ainsi que les inclusions
canoniques j X : X → Z (X) et j Y : Y → Z (Y ) . En appliquant le théorème (VI.2.2) à
j Y ◦ ϕ : X → Z
(Y ) et j X ◦ ϕ
−1 : Y → Z
(X) ,
on obtient deux morphismes de groupes
Z
(X)
→ Z
(Y ) et Z
(Y )
→ Z
(X)
qui sont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre. On en déduit donc la
proposition suivante :
Proposition VI.2.1. Si deux ensembles X et Y sont tels que que card(X) =
card(Y ), alors les groupes abéliens libres de bases X et Y sont isomorphes.
Ceci nous conduit à nous demander si le cardinal d’une base caractérise, à
isomorphisme près, un groupe abélien libre. Nous allons d’abord étudier le cas où
le groupe est engendré par une partie finie, puis étudier ensuite le cas général.
Définition VI.2.2. Un groupe (non nécessairement abélien) est dit de type fini
s’il est engendré par une partie finie.
Exemple VI.2.1. Pour tout entier n, Z n est un groupe abélien libre de type fini.
Exercice VI.3. Montrer que le groupe abélien (Q, +) n’est pas libre, n’est pas de
type fini.
Théorème VI.2.3.
(i) Un groupe abélien libre G est de type fini si et seulement s’il a une base
finie.
(ii) Dans ce cas, toutes les bases de G ont le même nombre d’éléments.
Démonstration. (i). Il est clair que si le groupe G admet une base finie, il est de
type fini.
Supposons que le groupe G est libre de type fini. Cela signifie que, d’une
part, il admet une base X = {x i } i∈I et que, d’autre part, il admet une partie
génératrice finie Y = {y 1 , . . . , y k }. Pour tout j, 1 j k, il existe une partie
finie I j contenue dans I telle que y j ∈
i∈I j
x i . Mais comme tout élément x de G
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B - Rang d’un groupe abélien libre
Soient X et Y deux ensembles équipotents et ϕ : X → Y une application bijective. On considère les groupes abéliens libres Z (X) et Z (Y ) ainsi que les inclusions
canoniques j X : X → Z (X) et j Y : Y → Z (Y ) . En appliquant le théorème (VI.2.2) à
j Y ◦ ϕ : X → Z
(Y ) et j X ◦ ϕ
−1 : Y → Z
(X) ,
on obtient deux morphismes de groupes
Z
(X)
→ Z
(Y ) et Z
(Y )
→ Z
(X)
qui sont des isomorphismes réciproques l’un de l’autre. On en déduit donc la
proposition suivante :
Proposition VI.2.1. Si deux ensembles X et Y sont tels que que card(X) =
card(Y ), alors les groupes abéliens libres de bases X et Y sont isomorphes.
Ceci nous conduit à nous demander si le cardinal d’une base caractérise, à
isomorphisme près, un groupe abélien libre. Nous allons d’abord étudier le cas où
le groupe est engendré par une partie finie, puis étudier ensuite le cas général.
Définition VI.2.2. Un groupe (non nécessairement abélien) est dit de type fini
s’il est engendré par une partie finie.
Exemple VI.2.1. Pour tout entier n, Z n est un groupe abélien libre de type fini.
Exercice VI.3. Montrer que le groupe abélien (Q, +) n’est pas libre, n’est pas de
type fini.
Théorème VI.2.3.
(i) Un groupe abélien libre G est de type fini si et seulement s’il a une base
finie.
(ii) Dans ce cas, toutes les bases de G ont le même nombre d’éléments.
Démonstration. (i). Il est clair que si le groupe G admet une base finie, il est de
type fini.
Supposons que le groupe G est libre de type fini. Cela signifie que, d’une
part, il admet une base X = {x i } i∈I et que, d’autre part, il admet une partie
génératrice finie Y = {y 1 , . . . , y k }. Pour tout j, 1 j k, il existe une partie
finie I j contenue dans I telle que y j ∈
i∈I j
x i . Mais comme tout élément x de G
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