Chapitre VI. Groupes abéliens
Démonstration. (i) ⇔ (ii). Le groupe G est égal à
i∈I x i si et seulement si tout
élément x de G s’écrit de manière unique x =
1jk y i j , avec y i j ∈ ∈x i j . Mais
y i j s’écrit de manière unique y i j = n j x i j avec n j ∈ Z, d’où le résultat.
(ii) ⇒(iii). L’écriture de tout élément x de G donnée par (ii) montre que X est
une partie génératrice. De plus l’élément 0 s’écrit 0 =
1jk n i j x i j avec n i j = 0,
1 j k. Cette écriture étant unique par hypothèse, on en déduit le résultat.
(iii) ⇒ (ii). La partie X étant génératrice, pour tout élément x de G, il existe
un ensemble fini J tel que x =
j∈J n j x i j . S’il existe un autre ensemble fini L
tel que x =
l∈L m l x i l , on a
0 =
⎛
⎝
j∈J
n j x i j
⎞
⎠ −
l∈L
m l x i l
0 =
⎛
⎝
p∈J∩L
(n p − m p )x ip
⎞
⎠ +
⎛
⎝
j∈J,j /
∈L
n j x i j
⎞
⎠ −
⎛
⎝
l∈L,l /
∈J
m l x i l
⎞
⎠ .
La condition (iii) implique que chacun des coefficients de cette somme est nul. On
en déduit que J = L et n j = m j pour tout j ∈ J.
Terminologie. Une famille X = {x i } i∈I satisfaisant à la condition (iii) ci-dessus
est dite libre sur Z. On dit aussi que les éléments x i , i ∈ I, sont linéairement
indépendants sur Z. Autrement dit, X est une base de G si et seulement si
c’est une partie libre et génératrice.
On remarquera qu’une sous-famille non vide d’une famille libre sur Z est libre
sur Z.
Théorème VI.2.2 (propriété universelle d’un groupe abélien libre). Soient G un
groupe abélien, X une partie de G, j X l’inclusion canonique de X dans G.
Alors G est abélien libre de base X si et seulement si, pour tout groupe abélien
A et toute application σ : X → A, il existe un unique morphisme de groupes
f : G → A tel que f ◦ j X = σ.
Démonstration. Supposons que le groupe abélien G soit libre de base X.
Existence de f : Notons X = {x i } i∈I la base donnée de G. Tout élément x de
G s’écrit de manière unique x =
i∈I n i x i , où les n i sont des entiers nuls sauf
pour un nombre fini de i ∈ I. Par conséquent, si on pose f (x) =
i∈I n i σ(x i ),
cette somme est bien définie. On vérifie aisément que l’application f ainsi définie
est un morphisme de groupes vérifiant f ◦ j X = σ.
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Démonstration. (i) ⇔ (ii). Le groupe G est égal à
i∈I x i si et seulement si tout
élément x de G s’écrit de manière unique x =
1jk y i j , avec y i j ∈ ∈x i j . Mais
y i j s’écrit de manière unique y i j = n j x i j avec n j ∈ Z, d’où le résultat.
(ii) ⇒(iii). L’écriture de tout élément x de G donnée par (ii) montre que X est
une partie génératrice. De plus l’élément 0 s’écrit 0 =
1jk n i j x i j avec n i j = 0,
1 j k. Cette écriture étant unique par hypothèse, on en déduit le résultat.
(iii) ⇒ (ii). La partie X étant génératrice, pour tout élément x de G, il existe
un ensemble fini J tel que x =
j∈J n j x i j . S’il existe un autre ensemble fini L
tel que x =
l∈L m l x i l , on a
0 =
⎛
⎝
j∈J
n j x i j
⎞
⎠ −
l∈L
m l x i l
0 =
⎛
⎝
p∈J∩L
(n p − m p )x ip
⎞
⎠ +
⎛
⎝
j∈J,j /
∈L
n j x i j
⎞
⎠ −
⎛
⎝
l∈L,l /
∈J
m l x i l
⎞
⎠ .
La condition (iii) implique que chacun des coefficients de cette somme est nul. On
en déduit que J = L et n j = m j pour tout j ∈ J.
Terminologie. Une famille X = {x i } i∈I satisfaisant à la condition (iii) ci-dessus
est dite libre sur Z. On dit aussi que les éléments x i , i ∈ I, sont linéairement
indépendants sur Z. Autrement dit, X est une base de G si et seulement si
c’est une partie libre et génératrice.
On remarquera qu’une sous-famille non vide d’une famille libre sur Z est libre
sur Z.
Théorème VI.2.2 (propriété universelle d’un groupe abélien libre). Soient G un
groupe abélien, X une partie de G, j X l’inclusion canonique de X dans G.
Alors G est abélien libre de base X si et seulement si, pour tout groupe abélien
A et toute application σ : X → A, il existe un unique morphisme de groupes
f : G → A tel que f ◦ j X = σ.
Démonstration. Supposons que le groupe abélien G soit libre de base X.
Existence de f : Notons X = {x i } i∈I la base donnée de G. Tout élément x de
G s’écrit de manière unique x =
i∈I n i x i , où les n i sont des entiers nuls sauf
pour un nombre fini de i ∈ I. Par conséquent, si on pose f (x) =
i∈I n i σ(x i ),
cette somme est bien définie. On vérifie aisément que l’application f ainsi définie
est un morphisme de groupes vérifiant f ◦ j X = σ.
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