VI.2. Groupes abéliens libres
VI.2. Groupes abéliens libres
A - Définition - Propriété universelle
Définition VI.2.1. On dit qu’un groupe abélien est libre s’il est somme directe
de groupes monogènes infinis.
Autrement dit, un groupe abélien G est libre s’il existe un ensemble I et une
famille d’éléments de G, X = {x i } i∈I , tels que
G =
i∈I
x i et x i Z, ∀ i ∈ I.
La famille X est une base de G.
L’écriture ci-dessus montre que, à isomorphisme près, il n’existe qu’un seul
groupe abélien libre de base donnée X.
Remarques VI.2.1.
a) D’après le corollaire (VI.1.1), en identifiant x i à Z, on peut aussi écrire
G Z (I) , ou, en appliquant la remarque (VI.1.1.d), G Z (X) .
Autrement dit, si l’on écrit le groupe G sous la forme Z (I) , cela signifie qu’on
considère que G est libre de base un ensemble non précisé de cardinal égal au
cardinal de I ; si on écrit G sous la forme Z (X) , cela signifie que l’on précise une
base X = {x i } i∈I de G.
b) Il est clair, d’après la définition, qu’une somme directe de groupes abéliens
libres est un groupe abélien libre. Précisément, Z (X) Z (Y ) = Z (X∪Y ) .
Théorème VI.2.1. Soient G un groupe abélien non nul et X = {x i } i∈I une famille
non vide d’éléments de G. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) G est un groupe abélien libre de base X
(ii) Tout élément x de G s’écrit de manière unique sous la forme
x =
1jk
n j x i j
où k ∈ N ∗ , {i 1 , . . . , i k } ⊆ I, et n j ∈ Z pour tout j, 1 j k
(iii) La famille X est une partie génératrice de G telle que, quelle que soit la
partie finie non vide {i 1 , . . . , i k } de I, la relation
1jk
n j x i j = 0, où n j ∈ Z ∀j (1 j k)
implique n j = 0 pour tout j, 1 j k.
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VI.2. Groupes abéliens libres
A - Définition - Propriété universelle
Définition VI.2.1. On dit qu’un groupe abélien est libre s’il est somme directe
de groupes monogènes infinis.
Autrement dit, un groupe abélien G est libre s’il existe un ensemble I et une
famille d’éléments de G, X = {x i } i∈I , tels que
G =
i∈I
x i et x i Z, ∀ i ∈ I.
La famille X est une base de G.
L’écriture ci-dessus montre que, à isomorphisme près, il n’existe qu’un seul
groupe abélien libre de base donnée X.
Remarques VI.2.1.
a) D’après le corollaire (VI.1.1), en identifiant x i à Z, on peut aussi écrire
G Z (I) , ou, en appliquant la remarque (VI.1.1.d), G Z (X) .
Autrement dit, si l’on écrit le groupe G sous la forme Z (I) , cela signifie qu’on
considère que G est libre de base un ensemble non précisé de cardinal égal au
cardinal de I ; si on écrit G sous la forme Z (X) , cela signifie que l’on précise une
base X = {x i } i∈I de G.
b) Il est clair, d’après la définition, qu’une somme directe de groupes abéliens
libres est un groupe abélien libre. Précisément, Z (X) Z (Y ) = Z (X∪Y ) .
Théorème VI.2.1. Soient G un groupe abélien non nul et X = {x i } i∈I une famille
non vide d’éléments de G. Les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) G est un groupe abélien libre de base X
(ii) Tout élément x de G s’écrit de manière unique sous la forme
x =
1jk
n j x i j
où k ∈ N ∗ , {i 1 , . . . , i k } ⊆ I, et n j ∈ Z pour tout j, 1 j k
(iii) La famille X est une partie génératrice de G telle que, quelle que soit la
partie finie non vide {i 1 , . . . , i k } de I, la relation
1jk
n j x i j = 0, où n j ∈ Z ∀j (1 j k)
implique n j = 0 pour tout j, 1 j k.
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