Chapitre VI. Groupes abéliens
Unicité de g : Tout élément x de
i∈I G i s’écrit de manière unique
λ i 1 (x i 1 ) + . . . + λ in (x in ). Par conséquent, quel que soit le morphisme g vérifiant
g ◦ λ i = f i pour tout i ∈ I, on a g(x) = f i 1 (x i 1 ) + . . . + f in (x in ), ce qui prouve
l’unicité de g.
Nous allons donner deux propositions qui sont des corollaires immédiats du
théorème ci-dessus.
Corollaire VI.1.1. Soient I un ensemble non vide et (G i ) i∈I une famille de groupes
abéliens. Un groupe G est isomorphe au groupe
i∈I G i si et seulement s’il existe
une famille (H i ) i∈I de sous-groupes de G tels que
(i) H i G i , ∀i ∈ I.
(ii) G =
i∈I H i .
Corollaire VI.1.2. Soient I un ensemble non vide, (G i ) i∈I et (G
i ) i∈I deux familles
de groupes abéliens telles que, pour tout i ∈ I, les groupes G i et G
i soient isomorphes. Alors les groupes
i∈I G i et
i∈I G
i sont isomorphes.
C - Facteur direct d’un groupe abélien
Définition VI.1.3. Soient G un groupe abélien et H un sous-groupe de G. On
dit que H est un facteur direct de G s’il existe un sous-groupe K de G tel
que G = H ⊕ K.
Attention. Un sous-groupe d’un groupe abélien n’est pas toujours un facteur
direct de ce groupe. C’est l’une des différences entre espaces vectoriels et modules.
Exercice VI.1. Montrer que le groupe abélien (Z, +) n’est pas un facteur direct du
groupe abélien (Q, +).
Proposition VI.1.4. Soient G un groupe abélien, H un sous-groupe de G et
i : H H→ G l’injection canonique. Alors H est un facteur direct de G si et seulement s’il existe p ∈ Hom(G, H) tel que p ◦ i = id H .
Démonstration. Supposons que G = H ⊕K. Tout élément g de G s’écrit de manière
unique g = h + k, avec h ∈ H et k ∈ K. On définit p par p(g) = h et on vérifie
aisément que c’est un morphisme de groupes répondant à la question.
Supposons qu’il existe un morphisme de groupes p : G → H tel que p◦i = id H .
Pour tout élément g de G on pose h = p(g) : on a alors h = p ◦ i(h) = p(h), i.e.
(g − h) ∈ Ker(p). On a g = h + (g − h) et, si x ∈ H ∩ Ker(p), alors on a
x = p(x) = 0, d’où G = H ⊕ Ker(p).
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Unicité de g : Tout élément x de
i∈I G i s’écrit de manière unique
λ i 1 (x i 1 ) + . . . + λ in (x in ). Par conséquent, quel que soit le morphisme g vérifiant
g ◦ λ i = f i pour tout i ∈ I, on a g(x) = f i 1 (x i 1 ) + . . . + f in (x in ), ce qui prouve
l’unicité de g.
Nous allons donner deux propositions qui sont des corollaires immédiats du
théorème ci-dessus.
Corollaire VI.1.1. Soient I un ensemble non vide et (G i ) i∈I une famille de groupes
abéliens. Un groupe G est isomorphe au groupe
i∈I G i si et seulement s’il existe
une famille (H i ) i∈I de sous-groupes de G tels que
(i) H i G i , ∀i ∈ I.
(ii) G =
i∈I H i .
Corollaire VI.1.2. Soient I un ensemble non vide, (G i ) i∈I et (G
i ) i∈I deux familles
de groupes abéliens telles que, pour tout i ∈ I, les groupes G i et G
i soient isomorphes. Alors les groupes
i∈I G i et
i∈I G
i sont isomorphes.
C - Facteur direct d’un groupe abélien
Définition VI.1.3. Soient G un groupe abélien et H un sous-groupe de G. On
dit que H est un facteur direct de G s’il existe un sous-groupe K de G tel
que G = H ⊕ K.
Attention. Un sous-groupe d’un groupe abélien n’est pas toujours un facteur
direct de ce groupe. C’est l’une des différences entre espaces vectoriels et modules.
Exercice VI.1. Montrer que le groupe abélien (Z, +) n’est pas un facteur direct du
groupe abélien (Q, +).
Proposition VI.1.4. Soient G un groupe abélien, H un sous-groupe de G et
i : H H→ G l’injection canonique. Alors H est un facteur direct de G si et seulement s’il existe p ∈ Hom(G, H) tel que p ◦ i = id H .
Démonstration. Supposons que G = H ⊕K. Tout élément g de G s’écrit de manière
unique g = h + k, avec h ∈ H et k ∈ K. On définit p par p(g) = h et on vérifie
aisément que c’est un morphisme de groupes répondant à la question.
Supposons qu’il existe un morphisme de groupes p : G → H tel que p◦i = id H .
Pour tout élément g de G on pose h = p(g) : on a alors h = p ◦ i(h) = p(h), i.e.
(g − h) ∈ Ker(p). On a g = h + (g − h) et, si x ∈ H ∩ Ker(p), alors on a
x = p(x) = 0, d’où G = H ⊕ Ker(p).
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