VI.1. Somme directe de groupes abéliens
B - Somme directe de groupes abéliens
Proposition - Définition VI.1.3. Soient I un ensemble non vide et (G i ) i∈I une famille de groupes abéliens. Le sous-ensemble du groupe
i∈I G i , (cf. proposition I.3.5), formé par les éléments qui n’ont qu’un nombre fini de composantes
non nulles, est un sous-groupe de
i∈I G i , appelé somme directe des groupes abéliens G i , i ∈ I, et noté
i∈I G i .
Remarques VI.1.1.
a) Pour tout i ∈ I, l’application λ i : G i →
i∈I G i , qui à x i associe la
suite dont tous les termes sont nuls sauf celui d’indice i qui est égal à x i , est un
morphisme (injectif) de groupes.
b) Les groupes
i∈I G i et
i∈I G i sont égaux si et seulement si l’ensemble I
est fini.
c) Si pour tout i ∈ I, on a G i = G, on pose G I =
i∈I G i et G (I) =
i∈I G i .
d) Si I et J sont deux ensembles non vides,
[card(I) = card(J)] =⇒ [G
I = G
J et G
(I) = G
(J) ].
Nous avons déjà vu au chapitre I que le produit direct de groupes est solution
du problème universel de produit de groupes et que cette solution est la même, que
l’on considère des groupes abéliens ou non abéliens. Nous avons posé et résolu le
problème universel de somme de groupes non abéliens (cf. TR.III.D). Nous allons
maintenant montrer que ce problème de somme de groupes admet une réponse
très différente de celle vue au TR.III.D, dès lors qu’il s’agit de groupes abéliens.
Théorème VI.1.1 (propriété universelle de la somme directe de groupes abéliens).
Soient I un ensemble non vide et (G i ) i∈I une famille de groupes abéliens. Avec
les notations ci-dessus, pour tout groupe abélien G et toute famille de morphismes
de groupes f i : G i → G, i ∈ I, il existe un unique morphisme de groupes
g :
i∈I G i → G tel que, pour tout i ∈ I, g ◦ λ i = f i .
Démonstration. Existence de g : Soit (x i ) i∈I un élément de
i∈I G i . Posons
g((x i ) i∈I ) =
i∈I
f i (x i ).
Seul un nombre fini de termes x i étant non nuls, cette somme est bien définie.
D’autre part, le groupe G étant abélien, on vérifie aisément que g est un homomorphisme de groupes. De plus, soit x ∈ G i : pour tous i, j ∈ I, j = i, on a
(λ i (x)) j = 0, d’où g(λ i (x)) = f i (x) et g ◦ λ i = f i , pour tout i ∈ I.
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B - Somme directe de groupes abéliens
Proposition - Définition VI.1.3. Soient I un ensemble non vide et (G i ) i∈I une famille de groupes abéliens. Le sous-ensemble du groupe
i∈I G i , (cf. proposition I.3.5), formé par les éléments qui n’ont qu’un nombre fini de composantes
non nulles, est un sous-groupe de
i∈I G i , appelé somme directe des groupes abéliens G i , i ∈ I, et noté
i∈I G i .
Remarques VI.1.1.
a) Pour tout i ∈ I, l’application λ i : G i →
i∈I G i , qui à x i associe la
suite dont tous les termes sont nuls sauf celui d’indice i qui est égal à x i , est un
morphisme (injectif) de groupes.
b) Les groupes
i∈I G i et
i∈I G i sont égaux si et seulement si l’ensemble I
est fini.
c) Si pour tout i ∈ I, on a G i = G, on pose G I =
i∈I G i et G (I) =
i∈I G i .
d) Si I et J sont deux ensembles non vides,
[card(I) = card(J)] =⇒ [G
I = G
J et G
(I) = G
(J) ].
Nous avons déjà vu au chapitre I que le produit direct de groupes est solution
du problème universel de produit de groupes et que cette solution est la même, que
l’on considère des groupes abéliens ou non abéliens. Nous avons posé et résolu le
problème universel de somme de groupes non abéliens (cf. TR.III.D). Nous allons
maintenant montrer que ce problème de somme de groupes admet une réponse
très différente de celle vue au TR.III.D, dès lors qu’il s’agit de groupes abéliens.
Théorème VI.1.1 (propriété universelle de la somme directe de groupes abéliens).
Soient I un ensemble non vide et (G i ) i∈I une famille de groupes abéliens. Avec
les notations ci-dessus, pour tout groupe abélien G et toute famille de morphismes
de groupes f i : G i → G, i ∈ I, il existe un unique morphisme de groupes
g :
i∈I G i → G tel que, pour tout i ∈ I, g ◦ λ i = f i .
Démonstration. Existence de g : Soit (x i ) i∈I un élément de
i∈I G i . Posons
g((x i ) i∈I ) =
i∈I
f i (x i ).
Seul un nombre fini de termes x i étant non nuls, cette somme est bien définie.
D’autre part, le groupe G étant abélien, on vérifie aisément que g est un homomorphisme de groupes. De plus, soit x ∈ G i : pour tous i, j ∈ I, j = i, on a
(λ i (x)) j = 0, d’où g(λ i (x)) = f i (x) et g ◦ λ i = f i , pour tout i ∈ I.
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