Chapitre VI. Groupes abéliens
Définition VI.1.1. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide
de sous-groupes de G. On appelle somme des sous-groupes H i , i ∈ I, qu’on
note
i∈I H i , le sous-groupe de G engendré par
i∈I H i .
Proposition VI.1.1. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide de
sous-groupes de G. Alors un élément x de G appartient à
i∈I H i si et seulement
si x s’écrit comme une somme finie
x = x i 1 + . . . + x i k
avec x i j ∈ H i j , 1 j k, et i 1 , . . . , i k ∈ I.
Démonstration. On a
i∈I H i = S, avec S =
i∈I H i , et la proposition est une
conséquence de la remarque (I.2.2).
Dans l’écriture ci-dessus, pour un x donné, les éléments x i j ne sont pas uniques.
Pour obtenir l’unicité de l’écriture de x en fonction des x i j , on est amené à considérer la définition suivante :
Définition VI.1.2. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide
de sous-groupes de G. Le sous-groupe
i∈I H i est somme directe des sousgroupes H i si
∀j ∈ I, H j ∩
i∈I
i =j
H i = {0}.
Dans ce cas, le sous-groupe
i∈I H i est noté
i∈I H i .
Proposition VI.1.2. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide de
sous-groupes de G. Le sous-groupe H =
i∈I H i est somme directe des H i si et
seulement si tout x ∈ H s’écrit de manière unique x =
1jk x i j avec k ∈ N ∗ ,
{i 1 , . . . , i k } ⊂ I, x i j ∈ H i j , 1 j k.
Démonstration. Cette démonstration est la même que celle de la proposition analogue dans le cas des espaces vectoriels et laissée au lecteur à titre d’exercice.
130
Définition VI.1.1. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide
de sous-groupes de G. On appelle somme des sous-groupes H i , i ∈ I, qu’on
note
i∈I H i , le sous-groupe de G engendré par
i∈I H i .
Proposition VI.1.1. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide de
sous-groupes de G. Alors un élément x de G appartient à
i∈I H i si et seulement
si x s’écrit comme une somme finie
x = x i 1 + . . . + x i k
avec x i j ∈ H i j , 1 j k, et i 1 , . . . , i k ∈ I.
Démonstration. On a
i∈I H i = S, avec S =
i∈I H i , et la proposition est une
conséquence de la remarque (I.2.2).
Dans l’écriture ci-dessus, pour un x donné, les éléments x i j ne sont pas uniques.
Pour obtenir l’unicité de l’écriture de x en fonction des x i j , on est amené à considérer la définition suivante :
Définition VI.1.2. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide
de sous-groupes de G. Le sous-groupe
i∈I H i est somme directe des sousgroupes H i si
∀j ∈ I, H j ∩
i∈I
i =j
H i = {0}.
Dans ce cas, le sous-groupe
i∈I H i est noté
i∈I H i .
Proposition VI.1.2. Soient G un groupe abélien et (H i ) i∈I une famille non vide de
sous-groupes de G. Le sous-groupe H =
i∈I H i est somme directe des H i si et
seulement si tout x ∈ H s’écrit de manière unique x =
1jk x i j avec k ∈ N ∗ ,
{i 1 , . . . , i k } ⊂ I, x i j ∈ H i j , 1 j k.
Démonstration. Cette démonstration est la même que celle de la proposition analogue dans le cas des espaces vectoriels et laissée au lecteur à titre d’exercice.
130