VI
GROUPES ABÉLIENS
Nous allons montrer dans ce chapitre que le fait, pour un groupe, d’être abélien permet de décrire plus précisément sa structure, en particulier lorsqu’il est
engendré par un nombre fini d’éléments.
Les groupes considérés dans ce chapitre étant tous abéliens, leurs lois seront
notées additivement, l’élément neutre sera noté 0, le symétrique de tout élément x
sera noté −x.
On trouvera dans le second volume de cet ouvrage une étude de la structure
de module. C’est une structure analogue à celle d’espace vectoriel, dans laquelle
le corps de base est remplacé par un anneau. Ce changement modifie substantiellement les propriétés de la structure, mais le formalisme linéaire (i.e. l’utilisation
des combinaisons linéaires) est le même que dans le cadre des espaces vectoriels.
Un groupe abélien est un module sur l’anneau Z, ce qui se traduira dans ce qui
suit par l’utilisation de combinaisons linéaires à coefficients dans Z.
VI.1. Somme directe de groupes abéliens
A - Somme directe de sous-groupes d’un groupe abélien
Nous avons déjà remarqué qu’une réunion de sous-groupes d’un groupe n’est
pas, en général, un sous-groupe. Nous allons nous intéresser ici au sous-groupe
engendré par une réunion de sous-groupes.
GROUPES ABÉLIENS
Nous allons montrer dans ce chapitre que le fait, pour un groupe, d’être abélien permet de décrire plus précisément sa structure, en particulier lorsqu’il est
engendré par un nombre fini d’éléments.
Les groupes considérés dans ce chapitre étant tous abéliens, leurs lois seront
notées additivement, l’élément neutre sera noté 0, le symétrique de tout élément x
sera noté −x.
On trouvera dans le second volume de cet ouvrage une étude de la structure
de module. C’est une structure analogue à celle d’espace vectoriel, dans laquelle
le corps de base est remplacé par un anneau. Ce changement modifie substantiellement les propriétés de la structure, mais le formalisme linéaire (i.e. l’utilisation
des combinaisons linéaires) est le même que dans le cadre des espaces vectoriels.
Un groupe abélien est un module sur l’anneau Z, ce qui se traduira dans ce qui
suit par l’utilisation de combinaisons linéaires à coefficients dans Z.
VI.1. Somme directe de groupes abéliens
A - Somme directe de sous-groupes d’un groupe abélien
Nous avons déjà remarqué qu’une réunion de sous-groupes d’un groupe n’est
pas, en général, un sous-groupe. Nous allons nous intéresser ici au sous-groupe
engendré par une réunion de sous-groupes.