Thèmes de réflexion
5. Montrer que G = {1, a, a 2 , b, b 2 , b 3 , ba, b 2 a, b 3 a, ba 2 , b 2 a 2 , b 3 a 2 }. En posant
x = b 2 a, montrer que {x, b}|x 6 , b 4 , x 3 b −2 , xbxb −1 est une présentation du groupe
G par générateurs et relations (groupe dicyclique d’ordre 12, noté Q 12 ).
On suppose que H 2 = {1, b, c, bc}.
6. Montrer qu’il existe un élément x dans H 2 tel que xax −1 = a.
7. On suppose que x = b et on pose K = bH 3 . Montrer que K est le produit
semi-direct de H 3 par b. En déduire que K est isomorphe au groupe diédral D 3 .
8. Montrer qu’il existe un élément y dans H 2 et non dans K, tel que yay −1 = a.
Montrer que y commute avec tous les éléments de H et en déduire que le groupe
G est isomorphe au groupe Z/2Z × D 3 , qui est lui-même isomorphe au groupe
diédral D 6 .
En résumé, un groupe d’ordre 12 est isomorphe à l’un des groupes suivants :
Z/2Z × Z/2Z × Z/3Z, Z/3Z × Z/4Z, A 4 , Q 12 , D 6 .
♣ TR.V.C. Détermination des groupes d’ordre pq
Le but ici est de déterminer, à isomorphismes près, les groupes d’ordre pq, où
p et q sont des nombres premiers.
Nous avons traité le cas p = q dans l’exercice (IV.4). Pour mémoire, tout
groupe d’ordre p 2 , p premier, est abélien et isomorphe à Z/p 2 Z ou à Z/pZ×Z/pZ.
On suppose maintenant que p et q sont deux nombres premiers, p < q, et que
G est un groupe d’ordre pq.
1. Montrer que G ne possède qu’un seul q-sous-groupe de Sylow.
2. En déduire que G est isomorphe à un produit semi-direct de Z/qZ par Z/pZ.
Nous avons vu au TR.I.B.10 que Aut(Z/qZ) Z/(q − 1)Z.
3. Montrer que :
– Si p ne divise pas (q − 1), il n’existe pas de morphisme non trivial de Z/pZ
dans Aut(Z/qZ).
– Si p divise (q − 1), il existe (p − 1) morphismes non triviaux, distincts deux
à deux, de Z/pZ dans Aut(Z/qZ), qu’on notera ϕ i , 1 i (p − 1).
4. Montrer que pour tout i = j, 1 i (p − 1), 1 j (p − 1), les
groupes Z/qZ ×
ϕ i
Z/pZ et Z/qZ ×
ϕ j
Z/pZ sont isomorphes. (On appliquera l’exercice (IV.6.2).)
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5. Montrer que G = {1, a, a 2 , b, b 2 , b 3 , ba, b 2 a, b 3 a, ba 2 , b 2 a 2 , b 3 a 2 }. En posant
x = b 2 a, montrer que {x, b}|x 6 , b 4 , x 3 b −2 , xbxb −1 est une présentation du groupe
G par générateurs et relations (groupe dicyclique d’ordre 12, noté Q 12 ).
On suppose que H 2 = {1, b, c, bc}.
6. Montrer qu’il existe un élément x dans H 2 tel que xax −1 = a.
7. On suppose que x = b et on pose K = bH 3 . Montrer que K est le produit
semi-direct de H 3 par b. En déduire que K est isomorphe au groupe diédral D 3 .
8. Montrer qu’il existe un élément y dans H 2 et non dans K, tel que yay −1 = a.
Montrer que y commute avec tous les éléments de H et en déduire que le groupe
G est isomorphe au groupe Z/2Z × D 3 , qui est lui-même isomorphe au groupe
diédral D 6 .
En résumé, un groupe d’ordre 12 est isomorphe à l’un des groupes suivants :
Z/2Z × Z/2Z × Z/3Z, Z/3Z × Z/4Z, A 4 , Q 12 , D 6 .
♣ TR.V.C. Détermination des groupes d’ordre pq
Le but ici est de déterminer, à isomorphismes près, les groupes d’ordre pq, où
p et q sont des nombres premiers.
Nous avons traité le cas p = q dans l’exercice (IV.4). Pour mémoire, tout
groupe d’ordre p 2 , p premier, est abélien et isomorphe à Z/p 2 Z ou à Z/pZ×Z/pZ.
On suppose maintenant que p et q sont deux nombres premiers, p < q, et que
G est un groupe d’ordre pq.
1. Montrer que G ne possède qu’un seul q-sous-groupe de Sylow.
2. En déduire que G est isomorphe à un produit semi-direct de Z/qZ par Z/pZ.
Nous avons vu au TR.I.B.10 que Aut(Z/qZ) Z/(q − 1)Z.
3. Montrer que :
– Si p ne divise pas (q − 1), il n’existe pas de morphisme non trivial de Z/pZ
dans Aut(Z/qZ).
– Si p divise (q − 1), il existe (p − 1) morphismes non triviaux, distincts deux
à deux, de Z/pZ dans Aut(Z/qZ), qu’on notera ϕ i , 1 i (p − 1).
4. Montrer que pour tout i = j, 1 i (p − 1), 1 j (p − 1), les
groupes Z/qZ ×
ϕ i
Z/pZ et Z/qZ ×
ϕ j
Z/pZ sont isomorphes. (On appliquera l’exercice (IV.6.2).)
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