Algèbre T1
♣ TR.V.B. Détermination des groupes d’ordre n,
n 15
On a étudié ce problème pour n 9 au TR.I.C, et on connaît déjà la réponse
pour les nombres 11 et 13, puisqu’ils sont premiers. D’autre part, la proposition (V.3.3) donne la réponse pour les groupes d’ordre 15.
Soit p un nombre premier impair. On considère un groupe G d’ordre 2p et on
note n 2 le nombre de ses 2-sous-groupes de Sylow. D’après le théorème (V.2.1),
on sait que n 2 = 1 ou n 2 = p.
1. Montrer que si n 2 = 1, alors G est isomorphe au groupe Z/2pZ, et que si
n 2 = p, alors G est isomorphe au groupe diédral D p .
Ceci détermine donc, en particulier, les groupes d’ordre n pour n = 10 et
n = 14.
Il reste donc à examiner le cas où G est un groupe d’ordre 12. On note n 2
(resp. n 3 ) le nombre de 2-sous-groupes (resp. 3-sous-groupes) de Sylow de G, qui
sont alors d’ordre 4 (resp. d’ordre 3). On sait que n 2 = 1 ou n 2 = 3 et que n 3 = 1
ou n 3 = 4.
2. Montrer qu’on ne peut avoir simultanément n 2 = 3 et n 3 = 4. (Considérer le
nombre d’éléments d’ordre 3).
Cas n 2 = 1 et n 3 = 1
3. Montrer qu’alors G est isomorphe au groupe Z/3Z × Z/4Z ou au groupe
Z/2Z × Z/2Z × Z/3Z, et qu’il n’y a pas d’autre groupe abélien d’ordre 12
(à isomorphisme près).
Cas n 2 = 1 et n 3 = 4
On note H 2 le 2-sous-groupe de Sylow de G et H 3 un 3-sous-groupe de Sylow
de G.
4. Montrer que H 2 est isomorphe au groupe Z/2Z × Z/2Z et que G est le produit
semi-direct de H 2 par H 3 . En déduire que G est isomorphe au groupe A 4 .
Cas n 2 = 3 et n 3 = 1
On note H 3 le 3-sous-groupe de Sylow de G : on a H 3 = a avec a 3 = 1.
On note H 2 un 2-sous-groupe de Sylow de G : on a H 2 = b avec b 4 = 1, ou
H 2 Z/2Z × Z/2Z, auquel cas on pose H 2 = {1, b, c, bc}.
On suppose que H 2 = b avec b 4 = 1.
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♣ TR.V.B. Détermination des groupes d’ordre n,
n 15
On a étudié ce problème pour n 9 au TR.I.C, et on connaît déjà la réponse
pour les nombres 11 et 13, puisqu’ils sont premiers. D’autre part, la proposition (V.3.3) donne la réponse pour les groupes d’ordre 15.
Soit p un nombre premier impair. On considère un groupe G d’ordre 2p et on
note n 2 le nombre de ses 2-sous-groupes de Sylow. D’après le théorème (V.2.1),
on sait que n 2 = 1 ou n 2 = p.
1. Montrer que si n 2 = 1, alors G est isomorphe au groupe Z/2pZ, et que si
n 2 = p, alors G est isomorphe au groupe diédral D p .
Ceci détermine donc, en particulier, les groupes d’ordre n pour n = 10 et
n = 14.
Il reste donc à examiner le cas où G est un groupe d’ordre 12. On note n 2
(resp. n 3 ) le nombre de 2-sous-groupes (resp. 3-sous-groupes) de Sylow de G, qui
sont alors d’ordre 4 (resp. d’ordre 3). On sait que n 2 = 1 ou n 2 = 3 et que n 3 = 1
ou n 3 = 4.
2. Montrer qu’on ne peut avoir simultanément n 2 = 3 et n 3 = 4. (Considérer le
nombre d’éléments d’ordre 3).
Cas n 2 = 1 et n 3 = 1
3. Montrer qu’alors G est isomorphe au groupe Z/3Z × Z/4Z ou au groupe
Z/2Z × Z/2Z × Z/3Z, et qu’il n’y a pas d’autre groupe abélien d’ordre 12
(à isomorphisme près).
Cas n 2 = 1 et n 3 = 4
On note H 2 le 2-sous-groupe de Sylow de G et H 3 un 3-sous-groupe de Sylow
de G.
4. Montrer que H 2 est isomorphe au groupe Z/2Z × Z/2Z et que G est le produit
semi-direct de H 2 par H 3 . En déduire que G est isomorphe au groupe A 4 .
Cas n 2 = 3 et n 3 = 1
On note H 3 le 3-sous-groupe de Sylow de G : on a H 3 = a avec a 3 = 1.
On note H 2 un 2-sous-groupe de Sylow de G : on a H 2 = b avec b 4 = 1, ou
H 2 Z/2Z × Z/2Z, auquel cas on pose H 2 = {1, b, c, bc}.
On suppose que H 2 = b avec b 4 = 1.
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