THÈMES DE RÉFLEXION
♠ TR.V.A. Int(S 6 ) = Aut(S 6 )
Nous allons ici compléter l’étude du groupe des automorphismes du groupe
S n commencée au TR.II.C.
Pour tout n ∈ N ∗ , on identifie S n à S E avec E = {1, . . . , n}, (cf. TR.I.A),
et on considère l’opération naturelle de S n sur E (exemple IV.1.1.e). Pour tout
élément i de E, on note S(i) le stabilisateur de i pour cette action. On a vu à
l’exemple (IV.2.1.e) que S(i) est isomorphe à S n−1 , donc d’indice n dans S n .
1. Montrer que les sous-groupes S(i) sont conjugués entre eux dans S n . (On
utilisera la proposition (IV.2.2).)
2. Montrer que pour n = 4, les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Int(S n ) = Aut(S n ).
(ii) Les sous-groupes d’indices n de S n sont conjugués entre eux dans S n . (On
considérera un sous-groupe H d’indice n de S n et l’isomorphisme S n → S Sn/H
obtenu à partir de l’action par translation de S n sur S n /H).
Ce qui précède montre que si l’assertion (ii) ci-dessus est vérifiée, les sousgroupes d’indice n de S n sont les S(i). Pour montrer le résultat annoncé, il suffit
donc de montrer que, lorsque n = 6, il existe un sous-groupe de S 6 qui n’est pas
conjugué à un S(i).
Soit P un 5-sous-groupe de Sylow de S 5 et soit N le normalisateur de P
dans S 5 .
3. Montrer que |N | = 20.
On a donc card(S 5 /N ) = 6.
4. Montrer que S 5 opère transitivement et fidèlement sur S 5 /N et en déduire un
morphisme injectif de groupes f : S 5 → S 6 .
5. Montrer que f (S 5 ) est un sous-groupe d’indice 6 de S 6 qui opère transitivement
sur un ensemble à six éléments. Il n’est donc pas conjugué à un S(i).
♠ TR.V.A. Int(S 6 ) = Aut(S 6 )
Nous allons ici compléter l’étude du groupe des automorphismes du groupe
S n commencée au TR.II.C.
Pour tout n ∈ N ∗ , on identifie S n à S E avec E = {1, . . . , n}, (cf. TR.I.A),
et on considère l’opération naturelle de S n sur E (exemple IV.1.1.e). Pour tout
élément i de E, on note S(i) le stabilisateur de i pour cette action. On a vu à
l’exemple (IV.2.1.e) que S(i) est isomorphe à S n−1 , donc d’indice n dans S n .
1. Montrer que les sous-groupes S(i) sont conjugués entre eux dans S n . (On
utilisera la proposition (IV.2.2).)
2. Montrer que pour n = 4, les assertions suivantes sont équivalentes :
(i) Int(S n ) = Aut(S n ).
(ii) Les sous-groupes d’indices n de S n sont conjugués entre eux dans S n . (On
considérera un sous-groupe H d’indice n de S n et l’isomorphisme S n → S Sn/H
obtenu à partir de l’action par translation de S n sur S n /H).
Ce qui précède montre que si l’assertion (ii) ci-dessus est vérifiée, les sousgroupes d’indice n de S n sont les S(i). Pour montrer le résultat annoncé, il suffit
donc de montrer que, lorsque n = 6, il existe un sous-groupe de S 6 qui n’est pas
conjugué à un S(i).
Soit P un 5-sous-groupe de Sylow de S 5 et soit N le normalisateur de P
dans S 5 .
3. Montrer que |N | = 20.
On a donc card(S 5 /N ) = 6.
4. Montrer que S 5 opère transitivement et fidèlement sur S 5 /N et en déduire un
morphisme injectif de groupes f : S 5 → S 6 .
5. Montrer que f (S 5 ) est un sous-groupe d’indice 6 de S 6 qui opère transitivement
sur un ensemble à six éléments. Il n’est donc pas conjugué à un S(i).