Chapitre V. Les théorèmes de Sylow
V.3. Applications
Proposition V.3.1. Soit G un groupe fini d’ordre pq, où p et q sont deux nombres
premiers distincts et q n’est pas congru à 1 modulo p. Alors G n’a qu’un seul
p-sous-groupe de Sylow.
Démonstration. Le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p et divise q. Puisque q est premier et non congru à 1 modulo p, le nombre
de p-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1.
Proposition V.3.2. Soit G un groupe fini d’ordre pq, où p et q sont des nombres
premiers distincts, alors G n’est pas simple.
Démonstration. Puisque p et q sont distincts, on peut supposer que p > q et, par
conséquent, q n’est pas congru à 1 modulo p. Donc, d’après ce qui précède, G
n’a qu’un seul p-sous-groupe de Sylow, qui est donc un sous-groupe normal non
trivial de G. Donc G n’est pas un groupe simple.
Proposition V.3.3. Soient p et q deux nombres premiers distincts tels que
p ≡ 1 (mod q) et q ≡ 1 (mod p).
Alors, tout groupe d’ordre pq est cyclique.
Démonstration. D’après la proposition (V.3.1), il existe dans G un seul p-sousgroupe de Sylow S et un seul q-sous-groupe de Sylow T , qui sont donc des sousgroupes normaux de G, d’après le corollaire (V.2.1.(ii)). Puisque |S| = p et |T | = q
qui sont premiers, S et T sont des groupes cycliques et leur intersection est réduite
à {1}. Posons S = x et T = y. Considérons z = xyx −1 y −1 ; on a x ∈ S et
yx −1 y −1 ∈ S puisque S est un sous-groupe normal de G, donc z ∈ S. Pour des
raisons analogues z ∈ T , d’où z = 1 et xy = yx. Par conséquent xy est un élément
d’ordre pq dans le groupe G, qui est lui-même d’ordre pq, donc G = xy.
Proposition V.3.4. Soit G un groupe fini non trivial et soit p
n 1
1 . . . p
n k
k la décomposition en facteurs premiers de l’ordre de G. Si pour tout i, 1 i k, G a un
unique p i -sous-groupe de Sylow S i , alors G est isomorphe au groupe
1ik S i ,
produit direct des groupes S i , 1 i k.
Démonstration. D’après l’hypothèse, chacun des S i est normal dans G et, par
conséquent, H = S 1 . . . S k est un sous-groupe de G, dont on vérifie aisément
qu’il est isomorphe au produit direct des (S i ), 1 i k (cf. exercice I.8). De
plus, |G| = |H|, d’où le résultat.
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V.3. Applications
Proposition V.3.1. Soit G un groupe fini d’ordre pq, où p et q sont deux nombres
premiers distincts et q n’est pas congru à 1 modulo p. Alors G n’a qu’un seul
p-sous-groupe de Sylow.
Démonstration. Le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p et divise q. Puisque q est premier et non congru à 1 modulo p, le nombre
de p-sous-groupes de Sylow de G est égal à 1.
Proposition V.3.2. Soit G un groupe fini d’ordre pq, où p et q sont des nombres
premiers distincts, alors G n’est pas simple.
Démonstration. Puisque p et q sont distincts, on peut supposer que p > q et, par
conséquent, q n’est pas congru à 1 modulo p. Donc, d’après ce qui précède, G
n’a qu’un seul p-sous-groupe de Sylow, qui est donc un sous-groupe normal non
trivial de G. Donc G n’est pas un groupe simple.
Proposition V.3.3. Soient p et q deux nombres premiers distincts tels que
p ≡ 1 (mod q) et q ≡ 1 (mod p).
Alors, tout groupe d’ordre pq est cyclique.
Démonstration. D’après la proposition (V.3.1), il existe dans G un seul p-sousgroupe de Sylow S et un seul q-sous-groupe de Sylow T , qui sont donc des sousgroupes normaux de G, d’après le corollaire (V.2.1.(ii)). Puisque |S| = p et |T | = q
qui sont premiers, S et T sont des groupes cycliques et leur intersection est réduite
à {1}. Posons S = x et T = y. Considérons z = xyx −1 y −1 ; on a x ∈ S et
yx −1 y −1 ∈ S puisque S est un sous-groupe normal de G, donc z ∈ S. Pour des
raisons analogues z ∈ T , d’où z = 1 et xy = yx. Par conséquent xy est un élément
d’ordre pq dans le groupe G, qui est lui-même d’ordre pq, donc G = xy.
Proposition V.3.4. Soit G un groupe fini non trivial et soit p
n 1
1 . . . p
n k
k la décomposition en facteurs premiers de l’ordre de G. Si pour tout i, 1 i k, G a un
unique p i -sous-groupe de Sylow S i , alors G est isomorphe au groupe
1ik S i ,
produit direct des groupes S i , 1 i k.
Démonstration. D’après l’hypothèse, chacun des S i est normal dans G et, par
conséquent, H = S 1 . . . S k est un sous-groupe de G, dont on vérifie aisément
qu’il est isomorphe au produit direct des (S i ), 1 i k (cf. exercice I.8). De
plus, |G| = |H|, d’où le résultat.
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