V.2. Le second théorème de Sylow
On considère l’action de H sur S par conjugaison et S H l’ensemble des points
fixes pour cette action. D’après la proposition (IV.5.1), on a
card(S H ) ≡ card(S) mod(p).
Mais, un p-sous-groupe de Sylow H appartient à S H si et seulement si
H = yH y −1 pour tout élément y de H, i.e. si et seulement si H est un sousgroupe de N G (H ). D’après le lemme (V.2.2), N G (H ) ne contient qu’un seul
p-sous-groupe de Sylow qui est H . D’où H = H et card(S H ) = 1. On en conclut
que card(S) ≡ 1 (mod p).
Remarque V.2.1. La démonstration ci-dessus montre plus précisément que, si
|G| = qp n avec p ne divisant pas q, le nombre de p-sous-groupes de Sylow de
G divise q.
Corollaire V.2.1.
(i) Un groupe fini G admet un seul p-sous-groupe de Sylow S si et seulement
si S est un sous-groupe normal de G.
(ii) Si G est un groupe abélien, pour tout nombre premier p divisant l’ordre
de G, il n’y a qu’un seul p-sous-groupe de Sylow.
Démonstration. (i). C’est une conséquence évidente du fait que les p-sous-groupes
de Sylow d’un groupe G sont conjugués entre eux et qu’un sous-groupe de G est
normal dans G si et seulement s’il est égal à tous ses conjugués dans G.
(ii). C’est une conséquence du point précédent et du fait que, dans un groupe
abélien, tous les sous-groupes sont normaux.
Exercice V.2. Soit G un groupe d’ordre pqr, où p > q > r sont des nombres
premiers. On note, respectivement, n p , n q , n r le nombre des p-sous-groupes,
q-sous-groupes, r-sous-groupes de Sylow de G.
a) Montrer que pqr n p (p − 1) + n q (q − 1) + n r (r − 1) + 1.
b) Montrer que
(n p > 1, n q > 1, n r > 1) ⇒ (n p = qr, n q p, n r q).
c) En déduire que G n’est pas simple.
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On considère l’action de H sur S par conjugaison et S H l’ensemble des points
fixes pour cette action. D’après la proposition (IV.5.1), on a
card(S H ) ≡ card(S) mod(p).
Mais, un p-sous-groupe de Sylow H appartient à S H si et seulement si
H = yH y −1 pour tout élément y de H, i.e. si et seulement si H est un sousgroupe de N G (H ). D’après le lemme (V.2.2), N G (H ) ne contient qu’un seul
p-sous-groupe de Sylow qui est H . D’où H = H et card(S H ) = 1. On en conclut
que card(S) ≡ 1 (mod p).
Remarque V.2.1. La démonstration ci-dessus montre plus précisément que, si
|G| = qp n avec p ne divisant pas q, le nombre de p-sous-groupes de Sylow de
G divise q.
Corollaire V.2.1.
(i) Un groupe fini G admet un seul p-sous-groupe de Sylow S si et seulement
si S est un sous-groupe normal de G.
(ii) Si G est un groupe abélien, pour tout nombre premier p divisant l’ordre
de G, il n’y a qu’un seul p-sous-groupe de Sylow.
Démonstration. (i). C’est une conséquence évidente du fait que les p-sous-groupes
de Sylow d’un groupe G sont conjugués entre eux et qu’un sous-groupe de G est
normal dans G si et seulement s’il est égal à tous ses conjugués dans G.
(ii). C’est une conséquence du point précédent et du fait que, dans un groupe
abélien, tous les sous-groupes sont normaux.
Exercice V.2. Soit G un groupe d’ordre pqr, où p > q > r sont des nombres
premiers. On note, respectivement, n p , n q , n r le nombre des p-sous-groupes,
q-sous-groupes, r-sous-groupes de Sylow de G.
a) Montrer que pqr n p (p − 1) + n q (q − 1) + n r (r − 1) + 1.
b) Montrer que
(n p > 1, n q > 1, n r > 1) ⇒ (n p = qr, n q p, n r q).
c) En déduire que G n’est pas simple.
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