Chapitre V. Les théorèmes de Sylow
on a |E K | ≡ r (mod p). Comme p ne divise pas r, |E K | n’est pas nul, donc
E K n’est pas vide. Mais, xH ∈ E K si et seulement si K est un sous-groupe de
Stab G (xH) = xHx −1 , donc K est un sous-groupe de xHx −1 .
Lemme V.2.2. Soit G un groupe fini et H un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors
H est l’unique p-sous-groupe de Sylow de son normalisateur N G (H).
Démonstration. D’après la remarque (V.1.1), H est un p-sous-groupe de Sylow de
N G (H). Donc |N G (H)| = qp n avec p ne divisant pas q. Soit K un p-sous-groupe
de Sylow de N G (H) (on a donc |K| = |H|). Alors, [N G (H) : K] = q et, d’après
le lemme (V.2.1), K est un sous-groupe de xHx −1 pour x ∈ N G (H). Mais, si
x ∈ N G (H), alors xHx −1 = H. Par conséquent, K est un sous-groupe de H et,
puisque |K| = |H|, on a H = K.
Théorème V.2.1 (deuxième théorème de Sylow). Soient G un groupe fini et p un
nombre premier divisant l’ordre de G.
(i) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G.
(ii) Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués entre eux.
(iii) Le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p et
divise l’ordre de G.
Démonstration. Posons |G| = qp n , avec p ne divisant pas q.
(i). Soient H un p-sous-groupe de G et S un p-sous-groupe de Sylow de G. On
a |H| = p r , [G : S] = q et p ne divise pas q. D’après le lemme (V.2.1), H est un
sous-groupe de xSx −1 pour un élément x de G. Mais |xSx −1 | = |S|, donc xSx −1
est un p-sous-groupe de Sylow de G.
(ii). Comme on l’a remarqué ci-dessus, le conjugué d’un p-sous-groupe de
Sylow est un p-sous-groupe de Sylow. Soient S et S deux p-sous-groupes de Sylow
de G. Le raisonnement ci-dessus, appliqué à H = S , montre que S est un sousgroupe de xSx −1 pour un certain élément x de G. Puisque |S | = |S| = |xSx −1 |,
on en déduit que S = xSx −1 .
(iii). Soit S l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G. Le groupe G opère
transitivement par conjugaison sur S. Soit H ∈ S
card(S) = card(Ω H ) = [G : Stab G (H)].
Mais Stab G (H) = N G (H) et q = [G : H] = [G : N G (H)][N G (H) : H]. Par
conséquent, card(S) divise q, donc card(S) divise qp n = |G|.
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on a |E K | ≡ r (mod p). Comme p ne divise pas r, |E K | n’est pas nul, donc
E K n’est pas vide. Mais, xH ∈ E K si et seulement si K est un sous-groupe de
Stab G (xH) = xHx −1 , donc K est un sous-groupe de xHx −1 .
Lemme V.2.2. Soit G un groupe fini et H un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors
H est l’unique p-sous-groupe de Sylow de son normalisateur N G (H).
Démonstration. D’après la remarque (V.1.1), H est un p-sous-groupe de Sylow de
N G (H). Donc |N G (H)| = qp n avec p ne divisant pas q. Soit K un p-sous-groupe
de Sylow de N G (H) (on a donc |K| = |H|). Alors, [N G (H) : K] = q et, d’après
le lemme (V.2.1), K est un sous-groupe de xHx −1 pour x ∈ N G (H). Mais, si
x ∈ N G (H), alors xHx −1 = H. Par conséquent, K est un sous-groupe de H et,
puisque |K| = |H|, on a H = K.
Théorème V.2.1 (deuxième théorème de Sylow). Soient G un groupe fini et p un
nombre premier divisant l’ordre de G.
(i) Tout p-sous-groupe de G est contenu dans un p-sous-groupe de Sylow de G.
(ii) Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués entre eux.
(iii) Le nombre de p-sous-groupes de Sylow de G est congru à 1 modulo p et
divise l’ordre de G.
Démonstration. Posons |G| = qp n , avec p ne divisant pas q.
(i). Soient H un p-sous-groupe de G et S un p-sous-groupe de Sylow de G. On
a |H| = p r , [G : S] = q et p ne divise pas q. D’après le lemme (V.2.1), H est un
sous-groupe de xSx −1 pour un élément x de G. Mais |xSx −1 | = |S|, donc xSx −1
est un p-sous-groupe de Sylow de G.
(ii). Comme on l’a remarqué ci-dessus, le conjugué d’un p-sous-groupe de
Sylow est un p-sous-groupe de Sylow. Soient S et S deux p-sous-groupes de Sylow
de G. Le raisonnement ci-dessus, appliqué à H = S , montre que S est un sousgroupe de xSx −1 pour un certain élément x de G. Puisque |S | = |S| = |xSx −1 |,
on en déduit que S = xSx −1 .
(iii). Soit S l’ensemble des p-sous-groupes de Sylow de G. Le groupe G opère
transitivement par conjugaison sur S. Soit H ∈ S
card(S) = card(Ω H ) = [G : Stab G (H)].
Mais Stab G (H) = N G (H) et q = [G : H] = [G : N G (H)][N G (H) : H]. Par
conséquent, card(S) divise q, donc card(S) divise qp n = |G|.
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