V.2. Le second théorème de Sylow
il existe un indice k, 1 k s, tel que p n−r+1 ne divise pas [G : Stab G (x k )].
Posons H = Stab G (x k ).
Nous allons montrer que le sous-groupe H de G est d’ordre p r .
Puisque G est un groupe, on a
∀h ∈ G, ∀g = g
∈ G, gh = g
h.
C’est en particulier vrai pour h ∈ X k et g, g ∈ H, auquel cas gh et g h sont dans
X k , car H = Stab G (x k ). On en déduit donc une injection de H dans X k , d’où
|H| card(X k ) = p r .
D’autre part, on a qp n = |H|[G : H]. Par conséquent, [G : H] divise qp n et
p n−r+1 ne divise pas [G : H]. D’où [G : H] = q p t avec q divise q et 0 t n − r.
On en déduit que |H| =
q
q p n−t . Mais, on a r n − t n, d’où p r divise |H| et
p r |H|.
On a donc p r |H| p r , d’où l’égalité.
Exercice V.1. Soient G un groupe fini et p un nombre premier divisant l’ordre
de G. Montrer qu’il existe un élément d’ordre p dans G.
Définition V.1.1.
a) Un groupe fini d’ordre p r , où p est un nombre premier, est appelé un
p-groupe.
b) Soient G un groupe et p un nombre premier divisant l’ordre de G. Un
sous-groupe de G d’ordre p r , où r est maximal tel que p r divise l’ordre de G,
est appelé un p-sous-groupe de Sylow de G.
Remarque V.1.1. Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors tout
p-sous-groupe (resp. p-sous-groupe de Sylow) de G contenu dans H est un p-sousgroupe (resp. p-sous-groupe de Sylow) de H. (C’est une conséquence du théorème
de Lagrange.)
V.2. Le second théorème de Sylow
Lemme V.2.1. Soient G un groupe et (p, n, r) ∈ N ∗ ×N ∗ ×N ∗ , p premier ne divisant
pas r. Soient H un sous-groupe de G d’indice r et K un sous-groupe de G d’ordre
p n . Alors K est contenu dans un conjugué de H.
Démonstration. Posons E = (G/H) g et considérons l’opération de K par translation à gauche sur E. Alors, puisque Card(E) = r, d’après la proposition (IV.5.1),
119
il existe un indice k, 1 k s, tel que p n−r+1 ne divise pas [G : Stab G (x k )].
Posons H = Stab G (x k ).
Nous allons montrer que le sous-groupe H de G est d’ordre p r .
Puisque G est un groupe, on a
∀h ∈ G, ∀g = g
∈ G, gh = g
h.
C’est en particulier vrai pour h ∈ X k et g, g ∈ H, auquel cas gh et g h sont dans
X k , car H = Stab G (x k ). On en déduit donc une injection de H dans X k , d’où
|H| card(X k ) = p r .
D’autre part, on a qp n = |H|[G : H]. Par conséquent, [G : H] divise qp n et
p n−r+1 ne divise pas [G : H]. D’où [G : H] = q p t avec q divise q et 0 t n − r.
On en déduit que |H| =
q
q p n−t . Mais, on a r n − t n, d’où p r divise |H| et
p r |H|.
On a donc p r |H| p r , d’où l’égalité.
Exercice V.1. Soient G un groupe fini et p un nombre premier divisant l’ordre
de G. Montrer qu’il existe un élément d’ordre p dans G.
Définition V.1.1.
a) Un groupe fini d’ordre p r , où p est un nombre premier, est appelé un
p-groupe.
b) Soient G un groupe et p un nombre premier divisant l’ordre de G. Un
sous-groupe de G d’ordre p r , où r est maximal tel que p r divise l’ordre de G,
est appelé un p-sous-groupe de Sylow de G.
Remarque V.1.1. Soient G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors tout
p-sous-groupe (resp. p-sous-groupe de Sylow) de G contenu dans H est un p-sousgroupe (resp. p-sous-groupe de Sylow) de H. (C’est une conséquence du théorème
de Lagrange.)
V.2. Le second théorème de Sylow
Lemme V.2.1. Soient G un groupe et (p, n, r) ∈ N ∗ ×N ∗ ×N ∗ , p premier ne divisant
pas r. Soient H un sous-groupe de G d’indice r et K un sous-groupe de G d’ordre
p n . Alors K est contenu dans un conjugué de H.
Démonstration. Posons E = (G/H) g et considérons l’opération de K par translation à gauche sur E. Alors, puisque Card(E) = r, d’après la proposition (IV.5.1),
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