Chapitre V. Les théorèmes de Sylow
Démonstration. On a
C
p r
sp n =
(sp n )!
p r !(sp n − p r )!
=
sp n (sp n − 1) . . . (sp n − p r + 1)
p r (p r − 1) . . . 1
= sp
n−r sp n − 1
1
. . .
sp n − (p r − k)
p r − k
. . .
sp n − (p r − 1)
p r − 1
·
Posons
λ = s
sp n − 1
1
. . .
sp n − (p r − k)
p r − k
. . .
sp n − (p r − 1)
p r − 1
·
Puisque p ne divise pas s et que C
p r
sp n est un nombre entier, pour établir le résultat il suffit de montrer que pour tout nombre k, 1 k (p r − 1), la fraction
sp n −k
k
est égale à une fraction irréductible dont p ne divise ni le numérateur ni le
dénominateur. Écrivons k sous la forme k = qp t , avec t 0 et p ne divisant pas q.
On a alors
sp n − k
k
=
sp n−t − q
q
et p ne divise pas sp n−t − q, d’où le résultat.
Théorème V.1.1 (premier théorème de Sylow). Soit G un groupe fini. Pour tout
nombre premier p et tout nombre entier r tels que p r divise l’ordre de G, il existe
un sous-groupe de G d’ordre p r .
Démonstration. Notons |G| = qp n , avec p ne divisant pas q. Soit r un nombre
entier fixé, 1 r n. On note E(r) l’ensemble des parties de G à p r éléments.
D’après le lemme (V.1.1), on a
card(E(r)) = C
p r
qp n = λp
n−r .
Pour tout élément g de G, l’opération par translation à gauche de g sur G est
une bijection. Par conséquent, pour tout élément X de E(r), on a card(g.X) =
card(X) et le groupe G opère donc sur l’ensemble E(r). Soient {X i }, 1 i s,
l’ensemble des orbites distinctes et {x i }, 1 i s, une famille de représentants
de ces orbites. D’après le corollaire (IV.2.1), on a
λp
n−r = card(E(r)) =
s
i=1
[G : Stab G (x i )].
Si p n−r+1 divisait tous les termes [G : Stab G (x i )], alors p n−r+1 serait en facteur
dans la somme et il diviserait λ. Par conséquent, puisque p ne divise pas λ,
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Démonstration. On a
C
p r
sp n =
(sp n )!
p r !(sp n − p r )!
=
sp n (sp n − 1) . . . (sp n − p r + 1)
p r (p r − 1) . . . 1
= sp
n−r sp n − 1
1
. . .
sp n − (p r − k)
p r − k
. . .
sp n − (p r − 1)
p r − 1
·
Posons
λ = s
sp n − 1
1
. . .
sp n − (p r − k)
p r − k
. . .
sp n − (p r − 1)
p r − 1
·
Puisque p ne divise pas s et que C
p r
sp n est un nombre entier, pour établir le résultat il suffit de montrer que pour tout nombre k, 1 k (p r − 1), la fraction
sp n −k
k
est égale à une fraction irréductible dont p ne divise ni le numérateur ni le
dénominateur. Écrivons k sous la forme k = qp t , avec t 0 et p ne divisant pas q.
On a alors
sp n − k
k
=
sp n−t − q
q
et p ne divise pas sp n−t − q, d’où le résultat.
Théorème V.1.1 (premier théorème de Sylow). Soit G un groupe fini. Pour tout
nombre premier p et tout nombre entier r tels que p r divise l’ordre de G, il existe
un sous-groupe de G d’ordre p r .
Démonstration. Notons |G| = qp n , avec p ne divisant pas q. Soit r un nombre
entier fixé, 1 r n. On note E(r) l’ensemble des parties de G à p r éléments.
D’après le lemme (V.1.1), on a
card(E(r)) = C
p r
qp n = λp
n−r .
Pour tout élément g de G, l’opération par translation à gauche de g sur G est
une bijection. Par conséquent, pour tout élément X de E(r), on a card(g.X) =
card(X) et le groupe G opère donc sur l’ensemble E(r). Soient {X i }, 1 i s,
l’ensemble des orbites distinctes et {x i }, 1 i s, une famille de représentants
de ces orbites. D’après le corollaire (IV.2.1), on a
λp
n−r = card(E(r)) =
s
i=1
[G : Stab G (x i )].
Si p n−r+1 divisait tous les termes [G : Stab G (x i )], alors p n−r+1 serait en facteur
dans la somme et il diviserait λ. Par conséquent, puisque p ne divise pas λ,
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