V
LES THÉORÈMES DE SYLOW
On sait, d’après le théorème de Lagrange (II.1.1), que l’ordre de tout sousgroupe d’un groupe fini G divise l’ordre de G. Mais on a vu (par exemple au
TR.II.B) que si G est un groupe d’ordre n et si d est un diviseur de n, il n’existe
pas nécessairement de sous-groupe de G qui soit d’ordre d. On peut donc se poser
la question :
Étant donné un groupe fini G d’ordre n, existe-t-il des diviseurs de n pour
lesquels il existe des sous-groupes de G d’ordre ces diviseurs ?
L’objet de ce chapitre est d’apporter une réponse à cette question lorsque le
diviseur d est de la forme une puissance d’un nombre premier.
De plus, la connaissance des sous-groupes correspondants permettra de préciser la structure du groupe G.
V.1. Le premier théorème de Sylow
Lemme V.1.1. Soient p un nombre premier et n un nombre entier non nul. Pour
tous nombres entiers r, n, s tels que 1 r n et s non divisible par p, on
a C
p r
sp n = λp n−r , où λ est un nombre entier non divisible par p (C
q
m désigne le
nombre de parties à q élements dans un ensemble à m éléments).