Travaux pratiques
l’objectif en question) ; on trouve la table suivante :
a a a b b b a b a b
1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1
2 3 4 2 3 1 2 3 1 1 2
3 4 2 3 1 2 3 4 4 2 3
4 2 3 4 4 4 4 2 3 4 4
Vérifier avec Maple, puis conclure qu’il s’agit bien d’une présentation du
groupe T .
On modifie maintenant légèrement les relations : on considère G 1 =
{a, b}|a 3 , b 3 , aba 2 b. Prenant toujours H 1 = a, effectuer de nouveau l’algorithme à la main et avec Maple. Démontrer enfin que G 1 Z/3Z :
l’ordre du groupe est bien moindre.
Encore des exemples
7. Soit G = {a, b}|a 2 , b 2 , abab −1 a −1 b −1 . Calculer son ordre avec la commande
grouporder, puis l’ordre de H = a et K = b via la commande cosets.
Enfin, à l’aide de la commande permrep appliquée au sous-groupe H, retrouver les ordres de a et b, et démontrer que G est isomorphe à S 3 .
8. Soient G = {a, b, c}|a 2 , b 3 , c 5 , abc et H le sous-groupe de G engendré par
a et cbc −1 . A l’aide du morphisme G → (G/H) d et des commandes Maple,
montrer que G est isomorphe à A 5 . Autrement dit, nous avons obtenu une
présentation de A 5 .
En utilisant le sous-groupe K = a, réaliser également G comme un sousgroupe de A 30 .
9. Soit G = {a, b}|a 7 , b 3 , bab −1 a −2 . Démontrer que G est le produit semidirect de H = a par K = b (consulter si nécessaire le chapitre IV,
paragraphes 3.B et 3.C pour des rappels sur la notion de produit semidirect). De quel produit semi-direct Z/7Z × γ Z/3Z s’agit-il (à isomorphisme
près) ? On explicitera le morphisme γ : Z/3Z → Aut(Z/7Z) : notant encore
par les lettres a et b les générateurs ¯ 1 des deux groupes respectivement, il
s’agit de donner γ(b)a.
10. Soit G = {a, b}|a 4 , b 4 , a 2 b 2 . Calculer son ordre via la commande
grouporder (au besoin, réinitialiser Maple à l’aide de la commande
restart). Ce groupe est-il abélien ? Pour le savoir, définir le groupe G 1
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l’objectif en question) ; on trouve la table suivante :
a a a b b b a b a b
1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1
2 3 4 2 3 1 2 3 1 1 2
3 4 2 3 1 2 3 4 4 2 3
4 2 3 4 4 4 4 2 3 4 4
Vérifier avec Maple, puis conclure qu’il s’agit bien d’une présentation du
groupe T .
On modifie maintenant légèrement les relations : on considère G 1 =
{a, b}|a 3 , b 3 , aba 2 b. Prenant toujours H 1 = a, effectuer de nouveau l’algorithme à la main et avec Maple. Démontrer enfin que G 1 Z/3Z :
l’ordre du groupe est bien moindre.
Encore des exemples
7. Soit G = {a, b}|a 2 , b 2 , abab −1 a −1 b −1 . Calculer son ordre avec la commande
grouporder, puis l’ordre de H = a et K = b via la commande cosets.
Enfin, à l’aide de la commande permrep appliquée au sous-groupe H, retrouver les ordres de a et b, et démontrer que G est isomorphe à S 3 .
8. Soient G = {a, b, c}|a 2 , b 3 , c 5 , abc et H le sous-groupe de G engendré par
a et cbc −1 . A l’aide du morphisme G → (G/H) d et des commandes Maple,
montrer que G est isomorphe à A 5 . Autrement dit, nous avons obtenu une
présentation de A 5 .
En utilisant le sous-groupe K = a, réaliser également G comme un sousgroupe de A 30 .
9. Soit G = {a, b}|a 7 , b 3 , bab −1 a −2 . Démontrer que G est le produit semidirect de H = a par K = b (consulter si nécessaire le chapitre IV,
paragraphes 3.B et 3.C pour des rappels sur la notion de produit semidirect). De quel produit semi-direct Z/7Z × γ Z/3Z s’agit-il (à isomorphisme
près) ? On explicitera le morphisme γ : Z/3Z → Aut(Z/7Z) : notant encore
par les lettres a et b les générateurs ¯ 1 des deux groupes respectivement, il
s’agit de donner γ(b)a.
10. Soit G = {a, b}|a 4 , b 4 , a 2 b 2 . Calculer son ordre via la commande
grouporder (au besoin, réinitialiser Maple à l’aide de la commande
restart). Ce groupe est-il abélien ? Pour le savoir, définir le groupe G 1
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