Algèbre T1
– L’application G → I définie par g → 1·g, qui est surjective par construction
de I (G y agit transitivement), factorise en vertu de TC-1 en une application
ψ : (G/H) d I.
– On construit d’autre part, par récurrence, une application φ : I → (G/H) d .
On part de φ(1) = H ; au cours du processus de remplissage, lorsque l’on
rajoute j = i · g, on pose φ(j) = φ(i) · g. Si par contre on tombe sur une
égalité j = i, alors φ(j) = φ(i) également, puisque la première égalité résulte
des propriétés TC-i qui sont vérifiées par les éléments de (G/H) d .
– L’application φ ◦ ψ : (G/H) d → (G/H) d est G-équivariante et vérifie
φ ◦ ψ(H) = H. Il s’agit donc de l’identité : φ◦ψ(H ·g) = φ◦ψ(H)·g = H ·g.
On en déduit que ψ est également injective : c’est donc une bijection.
– En définitive, on peut identifier les indices et les classes et le morphisme ρ :
G → S(I) = S n décrit bien l’action de G sur (G/H) d (après identification).
5. Confronter sur l’exemple précédent les résultats des calculs à la main avec
ceux de Maple. On calculera les classes à droite (G/H) d avec la commande cosets et le morphisme ρ : G → S((G/H) d ) = S n via la commande
permrep(H).
En utilisant l’ordre des permutations correspondant aux générateurs a et b,
démontrer que ces derniers sont respectivement d’ordres 4 et 3 (a priori, les
relations a 4 = b 3 = 1 ne permettent que de majorer ces ordres). En déduire
le cardinal de G.
Enfin, démontrer que G constitue une présentation du groupe O des isométries directes du cube (indication : on pourra utiliser les résutats démontrés
dans le TR.IV.B).
6. Soit T le groupe des isométries directes du tétraèdre. Justifier que T permute transitivement les quatre sommets, que cette action est fidèle et que
le stabilisateur d’un sommet est une rotation d’angle
2π
3 . En déduire que T
est de cardinal 12 et isomorphe à A 4 . Quel est l’ordre du produit ab de deux
telles rotations (d’angle
2π
3 et d’axes distincts) ?
Cela amène à définir G = {a, b}|a 3 , b 3 , abab, groupe dont on désire
connaître le cardinal. Effectuer à la main l’algorithme de Todd-Coxeter en
prenant H = a (noter que ce choix est plus judicieux que H = {Id} pour
106
– L’application G → I définie par g → 1·g, qui est surjective par construction
de I (G y agit transitivement), factorise en vertu de TC-1 en une application
ψ : (G/H) d I.
– On construit d’autre part, par récurrence, une application φ : I → (G/H) d .
On part de φ(1) = H ; au cours du processus de remplissage, lorsque l’on
rajoute j = i · g, on pose φ(j) = φ(i) · g. Si par contre on tombe sur une
égalité j = i, alors φ(j) = φ(i) également, puisque la première égalité résulte
des propriétés TC-i qui sont vérifiées par les éléments de (G/H) d .
– L’application φ ◦ ψ : (G/H) d → (G/H) d est G-équivariante et vérifie
φ ◦ ψ(H) = H. Il s’agit donc de l’identité : φ◦ψ(H ·g) = φ◦ψ(H)·g = H ·g.
On en déduit que ψ est également injective : c’est donc une bijection.
– En définitive, on peut identifier les indices et les classes et le morphisme ρ :
G → S(I) = S n décrit bien l’action de G sur (G/H) d (après identification).
5. Confronter sur l’exemple précédent les résultats des calculs à la main avec
ceux de Maple. On calculera les classes à droite (G/H) d avec la commande cosets et le morphisme ρ : G → S((G/H) d ) = S n via la commande
permrep(H).
En utilisant l’ordre des permutations correspondant aux générateurs a et b,
démontrer que ces derniers sont respectivement d’ordres 4 et 3 (a priori, les
relations a 4 = b 3 = 1 ne permettent que de majorer ces ordres). En déduire
le cardinal de G.
Enfin, démontrer que G constitue une présentation du groupe O des isométries directes du cube (indication : on pourra utiliser les résutats démontrés
dans le TR.IV.B).
6. Soit T le groupe des isométries directes du tétraèdre. Justifier que T permute transitivement les quatre sommets, que cette action est fidèle et que
le stabilisateur d’un sommet est une rotation d’angle
2π
3 . En déduire que T
est de cardinal 12 et isomorphe à A 4 . Quel est l’ordre du produit ab de deux
telles rotations (d’angle
2π
3 et d’axes distincts) ?
Cela amène à définir G = {a, b}|a 3 , b 3 , abab, groupe dont on désire
connaître le cardinal. Effectuer à la main l’algorithme de Todd-Coxeter en
prenant H = a (noter que ce choix est plus judicieux que H = {Id} pour
106