Travaux pratiques
a b
1 1 2
2 3 3
3 4 1
4 5 5
5 2
– On pose 5 · b = 6 :
a a a a b b b a b a b
1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1
2 3 4 5 2 3 1 2 3 1 1 2
3 4 5 2 3 1 2 3 4 5 2 3
4 5 2 3 4 5 6 4 5 6 6 4
5 2 3 4 5 6 4 5 2 3 4 5
6 6 6 6 6 4 5 6 6 4 5 6
a b
1 1 2
2 3 3
3 4 1
4 5 5
5 2 6
6 6 4
L’algorithme est terminé. Comme on le voit, il y a une certaine flexibilité
dans l’ordre où l’on fait les déductions successives. En général, cet algorithme se
termine lorsque l’indice de H dans G est fini (voir [16], chapitre 8, Théorème 3.4
pour un énoncé précis).
Expliquons pourquoi, lorsque cet algorithme se termine, il donne bien le résultat escompté. Notant I = {1, . . . , n} l’ensemble des numéros obtenus, on va
justifier que la table de l’action sur les classes définit bien une action de G sur I.
Puis, on va mettre en bijection I et (G/H) d , de sorte que les actions de G sur les
deux ensembles se correspondent (on parle de bijection G-équivariante). On suit
le raisonnement de [2], chapitre 6, Théorème 9.10 :
– Par construction, les colonnes de la table de l’action sur les classes correspondent bien à des bijections de I. En vertu de TC-2, on obtient donc un
morphisme ρ : G → S(I) = S n (par propriété universelle et passage au
quotient). En d’autre termes, G agit sur I.
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a b
1 1 2
2 3 3
3 4 1
4 5 5
5 2
– On pose 5 · b = 6 :
a a a a b b b a b a b
1 1 1 1 1 2 3 1 1 2 3 1
2 3 4 5 2 3 1 2 3 1 1 2
3 4 5 2 3 1 2 3 4 5 2 3
4 5 2 3 4 5 6 4 5 6 6 4
5 2 3 4 5 6 4 5 2 3 4 5
6 6 6 6 6 4 5 6 6 4 5 6
a b
1 1 2
2 3 3
3 4 1
4 5 5
5 2 6
6 6 4
L’algorithme est terminé. Comme on le voit, il y a une certaine flexibilité
dans l’ordre où l’on fait les déductions successives. En général, cet algorithme se
termine lorsque l’indice de H dans G est fini (voir [16], chapitre 8, Théorème 3.4
pour un énoncé précis).
Expliquons pourquoi, lorsque cet algorithme se termine, il donne bien le résultat escompté. Notant I = {1, . . . , n} l’ensemble des numéros obtenus, on va
justifier que la table de l’action sur les classes définit bien une action de G sur I.
Puis, on va mettre en bijection I et (G/H) d , de sorte que les actions de G sur les
deux ensembles se correspondent (on parle de bijection G-équivariante). On suit
le raisonnement de [2], chapitre 6, Théorème 9.10 :
– Par construction, les colonnes de la table de l’action sur les classes correspondent bien à des bijections de I. En vertu de TC-2, on obtient donc un
morphisme ρ : G → S(I) = S n (par propriété universelle et passage au
quotient). En d’autre termes, G agit sur I.
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