Algèbre T1
obtenu en rajoutant la relation de commutativité aba −1 b −1 = 1 G de a et b.
Déterminer la structure de groupe de G 1 (on montrera qu’il s’agit d’un
produit direct de deux groupes cycliques dont on déterminera les ordres).
Soit H le sous-groupe de G engendré par le produit ab. Démontrer avec
Maple que H est d’indice 4 et isomorphe à Z.
De façon générale, quel est le noyau du morphisme ρ : G → S((G/H) d ) ?
Que se passe-t-il si H est distingué ? Revenant à notre exemple, démontrer
que le quotient G/H est un groupe isomorphe à Z/4Z.
Pour finir, soit K le sous-groupe engendré par a. Démontrer que G est le
produit semi-direct de H par K. Existe-t-il plusieurs produits semi-directs
Z × γ Z/4Z possibles ? Que vaut a(ab)a −1 ?
TP.IV.B. Actions k-transitives, formule de Burnside
et énumérations de Polya
Ce TP fait suite au TP.II et termine l’étude des groupes de permutations. Un
tel groupe de permutations G, de degré n, agit naturellement sur X n = {1, . . . , n}.
On en détermine les orbites et teste la transitivité de l’action pour différents
groupes. Puis on généralise à l’action diagonale sur X k
n afin de discuter la
k-transitivité. Des limitations dues aux temps de calcul apparaissent rapidement
et sont contournées par l’usage de la formule de Burnside. Cela permet de regarder des groupes de plus haut degré et, en particulier, de mentionner les fameux
groupes de Mathieu. Pour finir, on procède à quelques dénombrements dits « de
Polya », la formule d’énumération de Polya étant basée sur une généralisation de
la formule de Burnside.
Calcul de l’orbite
☞ Quelques commandes Maple utiles : minus, time.
1. Écrire une procédure orbite:=proc(G,X,action) renvoyant la liste des orbites pour l’action d’un groupe G (défini avec la commande permgroup) sur
un ensemble X : l’élément g · x, pour g ∈ G et x ∈ X, est donc action(g,x).
On partira de la liste des éléments de G, obtenue via la commande elements,
et on soustraira progressivement les classes, jusqu’à épuisement des éléments
(algorithme naïf).
Tester cette procédure avec S 3 et A 3 agissant sur {1, 2, 3} ; ainsi action correspond à la fonction (g,x)->image(g,3,x), où image désigne la procédure
déjà écrite au cours du TP.II.
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obtenu en rajoutant la relation de commutativité aba −1 b −1 = 1 G de a et b.
Déterminer la structure de groupe de G 1 (on montrera qu’il s’agit d’un
produit direct de deux groupes cycliques dont on déterminera les ordres).
Soit H le sous-groupe de G engendré par le produit ab. Démontrer avec
Maple que H est d’indice 4 et isomorphe à Z.
De façon générale, quel est le noyau du morphisme ρ : G → S((G/H) d ) ?
Que se passe-t-il si H est distingué ? Revenant à notre exemple, démontrer
que le quotient G/H est un groupe isomorphe à Z/4Z.
Pour finir, soit K le sous-groupe engendré par a. Démontrer que G est le
produit semi-direct de H par K. Existe-t-il plusieurs produits semi-directs
Z × γ Z/4Z possibles ? Que vaut a(ab)a −1 ?
TP.IV.B. Actions k-transitives, formule de Burnside
et énumérations de Polya
Ce TP fait suite au TP.II et termine l’étude des groupes de permutations. Un
tel groupe de permutations G, de degré n, agit naturellement sur X n = {1, . . . , n}.
On en détermine les orbites et teste la transitivité de l’action pour différents
groupes. Puis on généralise à l’action diagonale sur X k
n afin de discuter la
k-transitivité. Des limitations dues aux temps de calcul apparaissent rapidement
et sont contournées par l’usage de la formule de Burnside. Cela permet de regarder des groupes de plus haut degré et, en particulier, de mentionner les fameux
groupes de Mathieu. Pour finir, on procède à quelques dénombrements dits « de
Polya », la formule d’énumération de Polya étant basée sur une généralisation de
la formule de Burnside.
Calcul de l’orbite
☞ Quelques commandes Maple utiles : minus, time.
1. Écrire une procédure orbite:=proc(G,X,action) renvoyant la liste des orbites pour l’action d’un groupe G (défini avec la commande permgroup) sur
un ensemble X : l’élément g · x, pour g ∈ G et x ∈ X, est donc action(g,x).
On partira de la liste des éléments de G, obtenue via la commande elements,
et on soustraira progressivement les classes, jusqu’à épuisement des éléments
(algorithme naïf).
Tester cette procédure avec S 3 et A 3 agissant sur {1, 2, 3} ; ainsi action correspond à la fonction (g,x)->image(g,3,x), où image désigne la procédure
déjà écrite au cours du TP.II.
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