Algèbre T1
2. Montrer que l’application s : H → N ×
γ
H, définie par s(h) = (1, h), est un
morphisme de groupes vérifiant p ◦ s = id H .
On dit que s est une section de p. La condition p ◦ s = id H impliquant que s
est un morphisme injectif, on remarquera que s(H) est isomorphe à H.
Réciproquement, on considère une suite exacte
1 −→ N
i
−→ G
p
−→ H −→ 1
et on suppose qu’il existe une section s de p.
3. En identifiant N à i(N ) et H à s(H), montrer que G est isomorphe au produit
semi-direct N ×
γ
H, où γ définit l’action de s(H) sur i(N ) par conjugaison.
Conclusion. Ce qui précède montre que, deux groupes N et H étant donnés,
un groupe G est isomorphe à un produit semi-direct de N par H si et seulement
s’il existe une suite exacte
1 −→ N
i
−→ G
p
−→ H −→ 1
tel que le morphisme p admette une section.
D’après la remarque (IV.3.3), un groupe G est produit direct N × H de deux
groupes N et H si et seulement si c’est le produit semi-direct N ×
γ
H, où γ est
l’identité.
4. Soient N et H deux groupes. Montrer qu’un groupe G est isomorphe au produit
direct N × H si et seulement s’il existe une suite exacte
1 −→ N
i
−→ G
p
−→ H −→ 1
telle que le morphisme p admette une section s vérifiant s(H) ⊆ Z G (i(N )).
5. Appliquer ce qui précède pour montrer que :
a) Le groupe S n est un produit semi-direct de A n par Z/2Z. (Considérer la
signature.)
b) Le groupe quaternionique H ne peut être obtenu comme produit semi-direct
de deux de ses sous-groupes.
♣ TR.IV.D. Groupes libres de rang 2
L’objectif de ce TR est de donner des exemples de groupes libres de rang 2.
Cette étude est basée sur le résultat suivant :
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