Thèmes de réflexion
Lemme du ping-pong
Soit un groupe G opérant sur un ensemble E. On suppose que E 1 et E 2 sont
des sous-ensembles de E, E 2 ⊂ E 1 , et que G 1 et G 2 sont des sous-groupes de
G tels que G 1 ait au moins trois éléments et que les propriétés suivantes soient
satisfaites :
∀g ∈ G 1 \ {1 G }, g(E 2 ) ⊂ E 1 et ∀h ∈ G 2 \ {1 G }, h(E 1 ) ⊂ E 2 .
Alors le sous-groupe de G engendré par G 1 et G 2 est isomorphe au produit libre
de G 1 et G 2 .
1. Soit g = g 1 h 1 . . . g r un mot, avec, pour tous i, g i ∈ G 1 \ {1 G } et h i ∈ G 2 \ {1 G }.
Montrer que ce mot ne peut être trivial. (Faire opérer ce mot sur E 2 .)
2. Soit h 0 ∈ G 2 \{1 G } et supposons que h 0 g = 1. Montrer que l’opération de g sur
E 2 induit une application bijective de E 2 sur E 1 . En déduire alors que E 2 ⊂ E 1 .
3. En déduire que tous les mots réduits construits à partir de G 1 et G 2 sont non
triviaux et en déduire le lemme.
On considère maintenant le groupe SL 2 (R) formé des matrices (2, 2) inversibles à coefficients dans R, de déterminant +1 (groupe spécial linéraire). Pour
toute matrice M =
a b
c d
∈ SL 2 (R) et tout élément x ∈ E = R ∪ {∞}, on
considère l’homographie
h M : x →
ax + b
cx + d
avec h M (−
d
c ) = ∞ et h M (∞) =
a
c , si c = 0.
4. Montrer que h M , pour M ∈ SL 2 (R), définit une action de SL 2 (R) sur E.
On considère les matrices
A =
1 2
0 1
, B =
1 0
2 1
et on pose E 1 = ] − 1, 1[ et E 2 le complémentaire de [−1, 1] dans E.
5. Montrer que pour tout entier n = 0, h n
A (E 1 ) ⊂ E 2 et h n
B (E 2 ) ⊂ E 1 .
6. En déduire que tout mot réduit w construit à partir de A et B, commençant par
une puissance de B et se terminant par une puissance de A, est tel que h w = id
et donc que w = 1.
7. Montrer qu’il en est de même pour tout mot réduit construit à partir de A
et B.
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Lemme du ping-pong
Soit un groupe G opérant sur un ensemble E. On suppose que E 1 et E 2 sont
des sous-ensembles de E, E 2 ⊂ E 1 , et que G 1 et G 2 sont des sous-groupes de
G tels que G 1 ait au moins trois éléments et que les propriétés suivantes soient
satisfaites :
∀g ∈ G 1 \ {1 G }, g(E 2 ) ⊂ E 1 et ∀h ∈ G 2 \ {1 G }, h(E 1 ) ⊂ E 2 .
Alors le sous-groupe de G engendré par G 1 et G 2 est isomorphe au produit libre
de G 1 et G 2 .
1. Soit g = g 1 h 1 . . . g r un mot, avec, pour tous i, g i ∈ G 1 \ {1 G } et h i ∈ G 2 \ {1 G }.
Montrer que ce mot ne peut être trivial. (Faire opérer ce mot sur E 2 .)
2. Soit h 0 ∈ G 2 \{1 G } et supposons que h 0 g = 1. Montrer que l’opération de g sur
E 2 induit une application bijective de E 2 sur E 1 . En déduire alors que E 2 ⊂ E 1 .
3. En déduire que tous les mots réduits construits à partir de G 1 et G 2 sont non
triviaux et en déduire le lemme.
On considère maintenant le groupe SL 2 (R) formé des matrices (2, 2) inversibles à coefficients dans R, de déterminant +1 (groupe spécial linéraire). Pour
toute matrice M =
a b
c d
∈ SL 2 (R) et tout élément x ∈ E = R ∪ {∞}, on
considère l’homographie
h M : x →
ax + b
cx + d
avec h M (−
d
c ) = ∞ et h M (∞) =
a
c , si c = 0.
4. Montrer que h M , pour M ∈ SL 2 (R), définit une action de SL 2 (R) sur E.
On considère les matrices
A =
1 2
0 1
, B =
1 0
2 1
et on pose E 1 = ] − 1, 1[ et E 2 le complémentaire de [−1, 1] dans E.
5. Montrer que pour tout entier n = 0, h n
A (E 1 ) ⊂ E 2 et h n
B (E 2 ) ⊂ E 1 .
6. En déduire que tout mot réduit w construit à partir de A et B, commençant par
une puissance de B et se terminant par une puissance de A, est tel que h w = id
et donc que w = 1.
7. Montrer qu’il en est de même pour tout mot réduit construit à partir de A
et B.
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