Thèmes de réflexion
et G/N . Plus généralement, deux groupes N et H étant donnés, on cherche tous
les groupes G tels que N soit isomorphe à un sous-groupe normal de G et H
isomorphe au quotient par ce sous-groupe.
Plus précisément, étant donnés trois groupes N , G, H et des morphismes de
groupes N
i
−→ G et G
p
−→ H, on dit que
N
i
−→ G
p
−→ H
est une suite exacte si Im(i) = Ker(p). Une suite de plusieurs morphismes est
exacte si toutes les suites formées de deux morphismes consécutifs sont exactes.
Avec ces notations, le problème posé ci-dessus consiste à trouver tous les
groupes G tels que la suite
1 −→ N
i
−→ G
p
−→ H −→ 1
soit exacte, les groupes N et H étant fixés. En effet, l’exactitude de la suite
1 −→ N
i
−→ G est équivalente au fait que le morphisme i est injectif et donc
que N est isomorphe à un sous-groupe de G. De plus, l’exactitude de la suite
N
i
−→ G
p
−→ H indique que i(N ) = Ker(p), d’où i(N ) est un sous-groupe
normal de G. L’exactitude de la suite G
p
−→ H −→ 1 indique que le morphisme p
est surjectif. On en déduit que le groupe H est isomorphe au groupe G/Ker(p),
qui est égal au groupe G/Im(i).
Dans la situation ci-dessus, on dit que G est une extension de H par N .
Les groupes N et H étant donnés, le problème de déterminer tous les groupes
G qui sont extension de H par N est très difficile et n’a pas de réponse en général.
Nous allons ici interpréter, dans ce cadre, les notions de produit semi-direct et
direct.
Soient N et H deux groupes et un morphisme γ : H → Aut(N ) définissant
une opération par automorphismes de H sur N . On pose G = N ×
γ
H.
1. Montrer que les morphismes canoniques
i : N → N ×
γ
H,
n → (n, 1)
p : N ×
γ
H → H,
(n, h) → h
sont tels que la suite
1 −→ N
i
−→ N ×
γ
H
p
−→ H −→ 1
est exacte.
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