Algèbre T1
6. Montrer que H et K sont des sous-groupes de Aut(D n ).
7. Montrer que |H| = n et |K| = ϕ(n), où ϕ est la fonction d’Euler.
8. Montrer que Aut(D n ) est le produit semi-direct du sous-groupe H par le sousgroupe K.
♣ TR.IV.B. Groupe des isométries du cube
On considère un cube dans R 3 dont les sommets sont numérotés de 1 à 8, où
[1,2,3,4] détermine la face supérieure, [5,6,7,8] la face inférieure, ces deux faces
étant reliées par les arêtes [1,5], [2,6], [3,7], [4,8].
On note G le groupe des isométries directes de ce cube (dans R 3 ). Tout élément
r de G induit une permutation σ r de l’ensemble des sommets, donc un élément
de S 8 . Comme r est entièrement déterminé par σ r (en d’autres termes, l’action
de G sur l’ensemble des sommets du cube est fidèle), on peut identifier r et σ r ,
donc décrire un élément de G par la permutation de S 8 correspondante.
1. Démontrer que les éléments
α =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 6 7 8 5
,
β =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 6 7 3 1 5 8 4
appartiennent à G.
2. Soit H = α, β le sous-groupe de G engendré par α et β. Déterminer l’orbite
de 1 sous l’action de H.
3. En déduire que G opère transitivement sur l’ensemble des sommets du cube.
4. Déterminer le stabilisateur de 1 sous l’action de G. En déduire l’ordre de G.
On veut démontrer que G est isomorphe au groupe S 4 . Une façon de faire
serait de caractériser S 4 par des générateurs et des relations et vérifier que G
admet un système de générateurs de ce type. Une autre façon, plus naturelle, est
de trouver un ensemble de quatre éléments sur lequel agit G. Il est raisonnable
de penser que cet ensemble est à trouver dans la géométrie du cube.
5. Démontrer que l’ensemble {[1, 7], [2, 8], [3, 5], [4, 6]} des diagonales (non orientées, donc [1, 7] = [7, 1] par exemple) du cube est permuté par G. En déduire que
G est isomorphe à S 4 .
♠ TR.IV.C. Produits et extensions de groupes
Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et G/N le groupe quotient.
On cherche à étudier la structure de G et ses propriétés à partir de celles de N
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6. Montrer que H et K sont des sous-groupes de Aut(D n ).
7. Montrer que |H| = n et |K| = ϕ(n), où ϕ est la fonction d’Euler.
8. Montrer que Aut(D n ) est le produit semi-direct du sous-groupe H par le sousgroupe K.
♣ TR.IV.B. Groupe des isométries du cube
On considère un cube dans R 3 dont les sommets sont numérotés de 1 à 8, où
[1,2,3,4] détermine la face supérieure, [5,6,7,8] la face inférieure, ces deux faces
étant reliées par les arêtes [1,5], [2,6], [3,7], [4,8].
On note G le groupe des isométries directes de ce cube (dans R 3 ). Tout élément
r de G induit une permutation σ r de l’ensemble des sommets, donc un élément
de S 8 . Comme r est entièrement déterminé par σ r (en d’autres termes, l’action
de G sur l’ensemble des sommets du cube est fidèle), on peut identifier r et σ r ,
donc décrire un élément de G par la permutation de S 8 correspondante.
1. Démontrer que les éléments
α =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 3 4 1 6 7 8 5
,
β =
1 2 3 4 5 6 7 8
2 6 7 3 1 5 8 4
appartiennent à G.
2. Soit H = α, β le sous-groupe de G engendré par α et β. Déterminer l’orbite
de 1 sous l’action de H.
3. En déduire que G opère transitivement sur l’ensemble des sommets du cube.
4. Déterminer le stabilisateur de 1 sous l’action de G. En déduire l’ordre de G.
On veut démontrer que G est isomorphe au groupe S 4 . Une façon de faire
serait de caractériser S 4 par des générateurs et des relations et vérifier que G
admet un système de générateurs de ce type. Une autre façon, plus naturelle, est
de trouver un ensemble de quatre éléments sur lequel agit G. Il est raisonnable
de penser que cet ensemble est à trouver dans la géométrie du cube.
5. Démontrer que l’ensemble {[1, 7], [2, 8], [3, 5], [4, 6]} des diagonales (non orientées, donc [1, 7] = [7, 1] par exemple) du cube est permuté par G. En déduire que
G est isomorphe à S 4 .
♠ TR.IV.C. Produits et extensions de groupes
Soient G un groupe, N un sous-groupe normal de G et G/N le groupe quotient.
On cherche à étudier la structure de G et ses propriétés à partir de celles de N
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