THÈMES DE RÉFLEXION
♣ TR.IV.A. Groupes diédraux D n
Nous avons introduit au chapitre I le groupe D 4 des isométries du carré et
avons indiqué dans l’exemple (IV.3.2) que ce groupe est un produit semi-direct
du groupe cyclique Z/4Z par le groupe cyclique Z/2Z. Nous allons ici introduire
le groupe diédral général D n comme groupe d’isométries du polygône régulier à
n côtés et montrer que c’est un produit semi-direct du groupe cyclique Z/nZ par
le groupe cyclique Z/2Z.
Soient n ∈ N, n 3, et P n le polygône plan régulier convexe à n sommets
A 0 , . . . , A n−1 inscrit dans le cercle unité, dont on notera O le centre. On note D n
le groupe des isométries du plan qui laissent P n invariant.
1. Vérifier que la symétrie orthogonale s d’axe OA 0 et la rotation r de centre O
et d’angle 2π/n appartiennent à D n .
2. Montrer que le cardinal de D n est 2n.
3. Montrer que srs = r −1 et en déduire que pour tout m ∈ N, on a sr m s = r −m .
4. En déduire que {a, b}| a n , b 2 , abab est une présentation par générateurs et
relations du groupe D n .
On pose G = r et H = s et on considère l’action de H sur G donnée par
le morphisme de groupes γ : H → Aut(G) défini par γ(s)(r m ) = r −m .
5. Montrer que D n G ×
γ
H.
Puisque G Z/nZ et H Z/2Z, on a le résultat annoncé.
Étude du groupe Aut(D n )
On pose H = {γ ∈ Aut(D n )|γ(a) = a} et K = {γ ∈ Aut(D n )|γ(b) = b}, où a
et b sont les générateurs de D n dans la présentation donnée à la question 4.
♣ TR.IV.A. Groupes diédraux D n
Nous avons introduit au chapitre I le groupe D 4 des isométries du carré et
avons indiqué dans l’exemple (IV.3.2) que ce groupe est un produit semi-direct
du groupe cyclique Z/4Z par le groupe cyclique Z/2Z. Nous allons ici introduire
le groupe diédral général D n comme groupe d’isométries du polygône régulier à
n côtés et montrer que c’est un produit semi-direct du groupe cyclique Z/nZ par
le groupe cyclique Z/2Z.
Soient n ∈ N, n 3, et P n le polygône plan régulier convexe à n sommets
A 0 , . . . , A n−1 inscrit dans le cercle unité, dont on notera O le centre. On note D n
le groupe des isométries du plan qui laissent P n invariant.
1. Vérifier que la symétrie orthogonale s d’axe OA 0 et la rotation r de centre O
et d’angle 2π/n appartiennent à D n .
2. Montrer que le cardinal de D n est 2n.
3. Montrer que srs = r −1 et en déduire que pour tout m ∈ N, on a sr m s = r −m .
4. En déduire que {a, b}| a n , b 2 , abab est une présentation par générateurs et
relations du groupe D n .
On pose G = r et H = s et on considère l’action de H sur G donnée par
le morphisme de groupes γ : H → Aut(G) défini par γ(s)(r m ) = r −m .
5. Montrer que D n G ×
γ
H.
Puisque G Z/nZ et H Z/2Z, on a le résultat annoncé.
Étude du groupe Aut(D n )
On pose H = {γ ∈ Aut(D n )|γ(a) = a} et K = {γ ∈ Aut(D n )|γ(b) = b}, où a
et b sont les générateurs de D n dans la présentation donnée à la question 4.