Chapitre IV. Groupes opérant sur un ensemble
Remarques IV.5.1.
a) On a
E G = {x ∈ E | Stab G (x) = G} = {x ∈ E | Ω x = {x}}.
b) E G peut être vide (par exemple dans le cas où G opère transitivement
sur E).
Exemples IV.5.1.
a) Si un groupe G opère par conjugaison sur lui-même, l’ensemble des points
fixes est le centre Z(G) de G.
b) Si un groupe G = {1} opère par translation sur lui-même, l’ensemble des
points fixes est vide.
Proposition IV.5.1. Soient p un nombre premier, n un entier non nul et G un groupe
fini d’ordre p n opérant sur un ensemble fini E. Alors
Card(E G ) ≡ Card(E) (mod p).
Démonstration. Un élément x appartient à E G si et seulement si Ω x = {x}, donc
Card(E G ) est le nombre d’orbites ponctuelles. Soient (x i ) i∈I une famille de représentants des orbites non ponctuelles. Alors
Card(E) = Card(E G ) +
i∈I
Card(Ω x i ).
Or, Card(Ω x i ) = [G : Stab G (x i )] est différent de 1 et divise p n , il est donc de la
forme p α i , avec α i 1. Donc (Card(E) − Card(E G )) est divisible par p.
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