IV.5. Points fixes
Proposition IV.4.1.
(i) Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors G opère transitivement
par translation à gauche sur l’ensemble (G/H) g des classes à gauche modulo H.
(ii) Si G opère transitivement sur un ensemble E, il existe un sous-groupe H de
G et une bijection équivariante E (G/H) g (i.e. l’action de G sur E se transporte
via cette bijection en l’action de G par translation à gauche sur (G/H) g ).
Démonstration. (i). Pour l’opération de G sur (G/H) g par translation définie par
(g, xH) → gxH, on a Ω H = (G/H) g .
(ii). Si G opère transitivement sur E, on a E = Ω x , qui est équipotent à
(G/Stab G (x)) g , et la bijection g.x → gStab G (x) vérifie la propriété énoncée.
Dans l’action de D 4 sur le carré, il est clair que le seul élément de D 4 qui laisse
invariant chaque sommet est l’identité. On formalise cette propriété de la façon
suivante :
Définition IV.4.2. On dit qu’un groupe G opère fidèlement sur un ensemble E si
(g ∈ G, g.x = x, ∀x ∈ E) =⇒ (g = 1).
C’est équivalent à dire que l’homomorphisme γ : G → S(E), associé à l’action
de G sur E, est injectif.
Exemples IV.4.2.
a) L’action d’un groupe G sur lui-même par translation est fidèle.
b) En général, l’action d’un groupe G = {1} sur lui-même par conjugaison
n’est pas fidèle, puisque le noyau de cette action est le centre Z(G) de G.
IV.5. Points fixes
Définition IV.5.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. Le sousensemble de E
E G = {x ∈ E | g.x = x, ∀g ∈ G}
est appelé sous-ensemble des points fixes de E sous l’action de G.
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