Chapitre IV. Groupes opérant sur un ensemble
Exemple IV.3.2. On considère C 4 et C 2 deux groupes cycliques d’ordre respectif
4 et 2. On pose C 4 = a avec a 4 = 1, C 2 = b avec b 2 = 1 et on considère
γ : C 2 → Aut(C 4 ) le morphisme de groupes défini par
γ(1) = id C 4 , γ(b)(x) = x
−1 , x ∈ C 4 .
Alors, d’après l’exercice IV.5 et la proposition (IV.3.2.(iii)), le produit semi-direct
C 4 ×
γ
C 2 est isomorphe au groupe diédral D 4 .
On peut se demander si deux éléments distincts γ et δ de Hom(G, Aut(N ))
peuvent donner deux produits semi-directs N ×
γ
G et N ×
δ
G isomorphes. L’exercice ci-dessous donne une réponse partielle à cette question.
Exercice IV.6.
1. Soient γ ∈ Hom(G, Aut(N )) et ϕ ∈ Aut(G). Montrer que γ et γ ◦ ϕ
définissent deux produits semi-directs N ×
γ
G et N ×
γ◦ϕ
G isomorphes.
2. Soient γ et δ deux éléments distincts de Hom(G, Aut(N )). Montrer que s’il
existe un élément ψ ∈ Aut(N ) tel que
∀g ∈ G, γ(g) = ψ ◦ δ(g) ◦ ψ
−1
les produits semi-directs N ×
γ
G et N ×
δ
G sont isomorphes.
IV.4. Opérations transitives, fidèles
Définition IV.4.1. On dit qu’un groupe G opère transitivement sur un ensemble E si
∀(x, y) ∈ E × E, ∃g ∈ G, y = g.x.
C’est équivalent à dire qu’il n’y a qu’une seule orbite.
Exemples IV.4.1.
a) Un groupe G opère transitivement sur lui-même par translation.
b) Un groupe G = {1} n’opère pas transitivement sur lui-même par
conjugaison.
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