IV.3. Produit semi-direct
et
(x, g)((y, h)(z, k)) = (x, g)(y
h z, hk) = (x
g (y
h z), ghk)
et, l’action de G sur N étant par automorphismes, ce dernier terme est égal à
(x g y gh z, ghk), d’où l’associativité.
On vérifie aisément que l’élément neutre est (1 N , 1 G ) et que
(x, g)
−1 = (
(g −1 ) x
−1 , g
−1 ).
Proposition IV.3.2.
(i) Avec les notations ci-dessus, les applications
α : G → N ×
γ
G,
g → (1, g)
β : N → N ×
γ
G,
x → (x, 1)
sont des morphismes injectifs de groupes.
(ii) En posant K = Im(β) et H = Im(α), le groupe N ×
γ
G est le produit
semi-direct du sous-groupe K par le sous-groupe H.
(iii) En identifiant N à K et G à H par les morphismes β et α, l’action de
g ∈ G sur x ∈ N s’identifie à (g, x) → gxg −1 dans N ×
γ
G.
Démonstration. (i). Évident.
(ii). Montrons que K est un sous-groupe normal de N ×
γ
G. Soient (x, 1) ∈ K
et (y, g) ∈ N ×
γ
G, alors (y, g)(x, 1)(y, g) −1 = (y g xy −1 , 1) ∈ K. On en déduit
que KH est un sous-groupe de N ×
γ
G et, comme (x, g) = (x, 1)(1, g), on a
KH = N ×
γ
G. De plus, (x, g) ∈ K ∩ H si et seulement si x = 1 et g = 1,
i.e. K ∩ H = (1, 1).
(iii). Les identifications par α et β reviennent à remplacer (1, g) par g, (x, 1)
par x et (1, 1) par 1. Alors (x, g) s’écrit xg et la multiplication dans N ×
γ
G s’écrit
xgyh = xgyg −1 gh = x g ygh, avec g y = gyg −1 .
Remarque IV.3.3. Si γ ∈ Hom(G, Aut(N )) est tel que γ(g) = id N pour tout g ∈ G,
alors N ×
γ
G est le produit direct N × G.
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