Chapitre IV. Groupes opérant sur un ensemble
Remarque IV.3.1. La condition (i) implique que le groupe G opère par conjugaison
sur K. Par restriction, on a donc une action par conjugaison de H sur K et
l’homomorphisme γ : H → S K ainsi déterminé vérifie Imγ < Aut(K). De plus,
dans G = KH, on a
∀(k, k
) ∈ K × K, ∀(h, h
) ∈ H × H, k h k
h
= k(h k
h
−1 )h h
.
Si on note l’action de H sur K par (h, k) → h k, on a
k h k
h
= k(
h k
)h h
,
d’où une écriture particulière du produit dans G = KH.
Remarque IV.3.2. Les conditions (ii) et (iii) de la définition (IV.3.2) impliquent
que le groupe G est en bijection ensembliste avec le produit K × H, mais la loi
interne définie est très différente de celle du produit direct de sous-groupes K ×H,
comme le montre l’écriture ci-dessus.
Exercice IV.5. On sait que D 4 b}|a 4 , b 2 , abab (exercice III.4). En considérant les sous-groupes de D 4 , K = a, H = b, montrer que le groupe D 4 est le
produit semi-direct de K par H.
C - Produit semi-direct de groupes
On généralise l’écriture du produit décrite ci-dessus.
On considère deux groupes G et N et une action de G sur N définie par
γ ∈ Hom(G, Aut(N )). On notera cette action
(g, x) −→
g x, g ∈ G, x ∈ N.
Proposition - Définition IV.3.1. Avec les notations ci-dessus, l’ensemble N ×G muni
de la loi de composition
(x, g)(y, h) = (x
g y, gh)
où (x, y) ∈ N × N et (g, h) ∈ G × G, est un groupe, en général non abélien, appelé
produit semi-direct de N par G relativement à γ et noté N ×
γ
G.
Démonstration. Montrons que la loi ainsi définie est associative. Soient
(x, g), (y, h), (z, k) trois éléments de N × G. On a
((x, g)(y, h))(z, k) = (x
g y, gh)(z, k) = (x
g y
gh z, ghk)
88