IV.3. Produit semi-direct
IV.3. Produit semi-direct
A - Groupes opérant sur un groupe
Soient G et H deux groupes et
G × H −→ H,
(g, x) −→ g.x
une action de G sur l’ensemble H. On a vu que ceci est équivalent à la donnée
d’un homomorphisme de groupes
γ : G −→ S H ,
g −→ γ g
avec γ g (x) = g.x.
Supposons que Im(γ) < Aut(H). Alors
∀(x, y) ∈ H × H, ∀g ∈ G, g.(xy) = (g.x)(g.y).
Réciproquement, si l’action de G sur H satisfait à cette condition supplémentaire,
alors pour tout g de G et pour tout (x, y) de H × H, on a γ g (xy) = γ g (x)γ g (y).
Autrement dit γ g est un endomorphisme de H et, puisqu’il est bijectif, c’est un
automorphisme. D’où Im(γ) < Aut(H).
Définition IV.3.1. Une opération d’un groupe G sur un groupe H satisfaisant à
la condition Im(γ) < Aut(H) est dite opération par automorphismes.
Attention. Dans toute la suite, lorsqu’un groupe opérera sur un autre groupe,
on supposera que l’opération est par automorphismes.
Exemple IV.3.1. L’action d’un groupe sur lui-même par conjugaison est par automorphismes. Ce n’est pas le cas pour l’action par translation.
B - Produit semi-direct de sous-groupes
Définition IV.3.2. Soient G un groupe, H et K deux sous-groupes de G. On
dira que G est le produit semi-direct de K par H si :
(i) K est un sous-groupe normal de G
(ii) G = KH
(iii) K ∩ H = {1}.
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