Chapitre IV. Groupes opérant sur un ensemble
Démonstration. On a vu dans l’exemple (IV.2.1.b) que, dans ce cas,
Stab G (x i ) = Z G (x i ).
Corollaire IV.2.3. Soit G un groupe fini opérant sur lui-même par conjugaison et
soit {x i }, 1 i k, une famille de représentants des orbites distinctes non
ponctuelles (i.e. non réduites à un élément), alors :
Card(G) = Card(Z(G)) +
k
i=1
[G : Z G (x i )].
Démonstration. Si le groupe G est abélien, toutes les orbites sont ponctuelles et
Z(G) = G, on a donc bien l’égalité.
Si le groupe G est non abélien, l’orbite Ω x d’un élément x est ponctuelle,
Ω x = {x}, si et seulement si x appartient à Z(G). Pour les éléments x de Z(G),
on a Stab G (x) = G, d’où [G : Stab G (x)] = 1. Par conséquent, dans l’équation aux
classes, la somme des termes qui correspondent aux orbites ponctuelles est égale
à card(Z(G)). D’où le résultat.
Exercice IV.4. Dans cet exercice, p est un nombre premier.
1. Montrer que si G est un groupe d’ordre p n , n 1, le centre Z(G) de G
n’est pas réduit à l’élément neutre.
2. En déduire que :
a) Tout groupe d’ordre p 2 est abélien.
b) Un groupe G d’ordre p 2 est isomorphe à Z/p 2 Z ou à Z/pZ × Z/pZ. (On
considérera un sous-groupe H d’ordre p de G et un sous-groupe K engendré par
un élément de G n’appartenant pas à H.)
c) Pour tout entier n 1 et pour tout entier q, 0 q n, tout groupe
non abélien d’ordre p n possède un sous-groupe normal d’ordre p q . (On fera un
raisonnement par récurrence sur n et on appliquera l’hypothèse de récurrence au
groupe G/Z(G).)
Le cas des groupes abéliens sera traité dans l’exercice (VI.5.3).
3. Soit H un sous-groupe d’un groupe fini G tel que [G : H] = p soit le plus
petit nombre premier divisant |G|. Montrer que H est un sous-groupe normal
de G. (On utilisera l’équation aux classes associée à l’action de H sur (G/H) g
induite par l’action par translation à gauche de G sur (G/H) g .)
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Démonstration. On a vu dans l’exemple (IV.2.1.b) que, dans ce cas,
Stab G (x i ) = Z G (x i ).
Corollaire IV.2.3. Soit G un groupe fini opérant sur lui-même par conjugaison et
soit {x i }, 1 i k, une famille de représentants des orbites distinctes non
ponctuelles (i.e. non réduites à un élément), alors :
Card(G) = Card(Z(G)) +
k
i=1
[G : Z G (x i )].
Démonstration. Si le groupe G est abélien, toutes les orbites sont ponctuelles et
Z(G) = G, on a donc bien l’égalité.
Si le groupe G est non abélien, l’orbite Ω x d’un élément x est ponctuelle,
Ω x = {x}, si et seulement si x appartient à Z(G). Pour les éléments x de Z(G),
on a Stab G (x) = G, d’où [G : Stab G (x)] = 1. Par conséquent, dans l’équation aux
classes, la somme des termes qui correspondent aux orbites ponctuelles est égale
à card(Z(G)). D’où le résultat.
Exercice IV.4. Dans cet exercice, p est un nombre premier.
1. Montrer que si G est un groupe d’ordre p n , n 1, le centre Z(G) de G
n’est pas réduit à l’élément neutre.
2. En déduire que :
a) Tout groupe d’ordre p 2 est abélien.
b) Un groupe G d’ordre p 2 est isomorphe à Z/p 2 Z ou à Z/pZ × Z/pZ. (On
considérera un sous-groupe H d’ordre p de G et un sous-groupe K engendré par
un élément de G n’appartenant pas à H.)
c) Pour tout entier n 1 et pour tout entier q, 0 q n, tout groupe
non abélien d’ordre p n possède un sous-groupe normal d’ordre p q . (On fera un
raisonnement par récurrence sur n et on appliquera l’hypothèse de récurrence au
groupe G/Z(G).)
Le cas des groupes abéliens sera traité dans l’exercice (VI.5.3).
3. Soit H un sous-groupe d’un groupe fini G tel que [G : H] = p soit le plus
petit nombre premier divisant |G|. Montrer que H est un sous-groupe normal
de G. (On utilisera l’équation aux classes associée à l’action de H sur (G/H) g
induite par l’action par translation à gauche de G sur (G/H) g .)
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