IV.2. Stabilisateurs – Orbites
Proposition IV.2.2. Soient G un groupe opérant sur un ensemble E et x un élément
de E. Alors, pour tout élément y de Ω x , les sous-groupes Stab G (x) et Stab G (y)
sont conjugués.
Démonstration. Soit y ∈ Ω x ; il existe g ∈ G tel que y = g.x. Nous allons montrer
que G y = gG x g −1 . Pour tout h ∈ G y , on a h.y = y, d’où (hg).x = g.x i.e.
(g −1 hg).x = x, i.e. (g −1 hg) ∈ G x , d’où G y ⊆ gG x g −1 . L’inclusion dans l’autre
sens est une vérification immédiate.
Proposition IV.2.3. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. Alors pour tout
élément x de E, on a
card(Ω x ) = [G : Stab G (x)].
Démonstration. Par définition, [G : Stab G (x)] est le cardinal de l’ensemble
G/Stab G (x). Nous allons construire une application de Ω x sur G/Stab G (x) et
montrer qu’elle est bijective. Tout élément de Ω x s’écrit g.x, pour un certain
g ∈ G. Posons ϕ(g.x) = gStab G (x) et montrons que cela définit bien une application de Ω x sur G/Stab G (x) : si g.x = h.x, alors x = (g −1 h).x et g −1 h
appartient à Stab G (x), d’où gStab G (x) = hStab G (x) et ϕ est bien définie. Il est
évident qu’elle est surjective. D’autre part, gStab G (x) = hStab G (x) équivaut à
(g −1 h) ∈ Stab G (x), i.e. (g −1 h).x = x, d’où g.x = h.x et ϕ est injective.
Exercice IV.3. Montrer que le cardinal de la classe de conjugaison d’un élément
quelconque d’un groupe fini divise l’ordre de ce groupe.
Corollaire IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble fini E et soit {x i },
1 i r, une famille de représentants des orbites distinctes, alors :
Card(E) =
r
i=1
[G : Stab G (x i )].
Démonstration. C’est une conséquence immédiate de la proposition (IV.2.3) et du
fait que les Ω x , x ∈ E, forment une partition de E.
Corollaire IV.2.2 (équation aux classes). Soit G un groupe fini opérant sur lui-même
par conjugaison et soit {x i }, 1 i r, une famille de représentants des orbites
distinctes, alors :
Card(G) =
r
i=1
[G : Z G (x i )].
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