Chapitre IV. Groupes opérant sur un ensemble
IV.2. Stabilisateurs – Orbites
Il est clair que dans l’action de D 4 sur le carré, l’élément Δ 1 laisse fixe les
sommets de la première diagonale. On dit que Δ 1 stabilise ces deux éléments
de E.
Proposition - Définition IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E et soit
x un élément fixé de E. L’ensemble Stab G (x) = {g ∈ G : gx = x} est un sousgroupe de G, appelé le stabilisateur de x.
Démonstration. Soient g et h des éléments de Stab G (x). On a g.x = x et h.x = x,
d’où
(gh
−1 ).x = (gh
−1 ).(h.x) = g.((h
−1 h).x) = g.(1.x) = g.x = x,
d’où gh −1 appartient à Stab g (x), qui est donc un sous-groupe de G.
Définition IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E et soit x un
élément fixé de E. L’ensemble Ω x = {g.x, g ∈ G} est appelé l’orbite de x sous
l’action de G.
Remarque IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. La relation R
définie sur E par
[xRy] ⇐⇒ [∃ g ∈ G, y = g.x]
est une relation d’équivalence. L’orbite Ω x d’un élément x de E sous l’action de
G est une classe d’équivalence pour la relation R. Les orbites des éléments de E
sous l’action de G forment donc une partition de E.
Exemples IV.2.1. Pour les exemples (IV.1.1), on a respectivement :
a) Stab G (x) = {1 G } ; Ω x = G (∀x ∈ G).
b) Stab G (x) = Z G (x) ; Ω x = classe de conjugaison de x.
c) Stab G (S) = N G (S) ; Ω S = classe de conjugaison de S.
d) Stab G (xH) = xHx −1 ; Ω xH = G/H.
e) Stab S E (x) S E−{x} ; Ω x = E.
Exercice IV.2. Montrer que si H est un sous-groupe d’indice n de S n , il est isomorphe au groupe S n−1 . (On utilisera le TR.II.B et l’exercice II.1.)
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IV.2. Stabilisateurs – Orbites
Il est clair que dans l’action de D 4 sur le carré, l’élément Δ 1 laisse fixe les
sommets de la première diagonale. On dit que Δ 1 stabilise ces deux éléments
de E.
Proposition - Définition IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E et soit
x un élément fixé de E. L’ensemble Stab G (x) = {g ∈ G : gx = x} est un sousgroupe de G, appelé le stabilisateur de x.
Démonstration. Soient g et h des éléments de Stab G (x). On a g.x = x et h.x = x,
d’où
(gh
−1 ).x = (gh
−1 ).(h.x) = g.((h
−1 h).x) = g.(1.x) = g.x = x,
d’où gh −1 appartient à Stab g (x), qui est donc un sous-groupe de G.
Définition IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E et soit x un
élément fixé de E. L’ensemble Ω x = {g.x, g ∈ G} est appelé l’orbite de x sous
l’action de G.
Remarque IV.2.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. La relation R
définie sur E par
[xRy] ⇐⇒ [∃ g ∈ G, y = g.x]
est une relation d’équivalence. L’orbite Ω x d’un élément x de E sous l’action de
G est une classe d’équivalence pour la relation R. Les orbites des éléments de E
sous l’action de G forment donc une partition de E.
Exemples IV.2.1. Pour les exemples (IV.1.1), on a respectivement :
a) Stab G (x) = {1 G } ; Ω x = G (∀x ∈ G).
b) Stab G (x) = Z G (x) ; Ω x = classe de conjugaison de x.
c) Stab G (S) = N G (S) ; Ω S = classe de conjugaison de S.
d) Stab G (xH) = xHx −1 ; Ω xH = G/H.
e) Stab S E (x) S E−{x} ; Ω x = E.
Exercice IV.2. Montrer que si H est un sous-groupe d’indice n de S n , il est isomorphe au groupe S n−1 . (On utilisera le TR.II.B et l’exercice II.1.)
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