IV.1. Définitions – Exemples
Exemples IV.1.1.
a) Tout groupe G opère sur lui-même par « translation »
G × G −→ G,
(g, x) −→ g.x = gx.
b) Tout groupe G opère sur lui-même par conjugaison
G × G −→ G,
(g, x) −→ g.x = gxg
−1 .
c) Tout groupe G opère sur P(G), ensemble des parties de G, par conjugaison
G × P(G) −→ P(G),
(g, S) −→ g.S = gSg
−1 ,
(g, ∅) −→ ∅.
d) Soit H un sous-groupe d’un groupe G. Alors G opère sur l’ensemble (G/H) g
des classes à gauche modulo H, par
G × (G/H) g −→ (G/H) g ,
(g, xH) −→ g.(xH) = gxH.
e) Soit E un ensemble non vide. Alors le groupe S E des permutations de E
opère sur E par
S E × E −→ E,
(σ, x) −→ σ.x = σ(x).
Définition IV.1.2. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E. Le noyau de
l’action est le noyau de l’homomorphisme de groupes γ : G → S E définissant
l’action de G sur E.
Ce noyau permet d’obtenir des renseignements sur le groupe G comme, par
exemple, les résultats suivants :
Exercice IV.1.
1. Soient G un groupe et H un sous-groupe de G. Montrer que le noyau
de l’action de G sur (G/H) g définie dans l’exemple (IV.1.1.d) est le sous-groupe
x∈G xHx −1 . Montrer que c’est le plus grand sous-groupe normal dans G contenu
dans H.
2. En déduire que si G est un groupe simple (cf. TR.II.B), pour tout sousgroupe H = G de G, G est isomorphe à un sous-groupe de S [G:H] .
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