Chapitre IV. Groupes opérant sur un ensemble
Remarque IV.1.1. On définit de façon analogue une opération à droite de G sur E.
Dans toute la suite, on ne considérera, sauf mention explicite, que des actions
à gauche de G sur E et on ne précisera plus le côté. Au lieu de dire « soient G un
groupe, E un ensemble non vide et une action de G sur E », on dira « soit G un
groupe opérant sur un ensemble E ».
Proposition IV.1.1. Soit G un groupe opérant sur un ensemble E.
(i) Pour tout g dans G, l’application
γ g : E −→ E,
x −→ g.x
est une permutation de E.
(ii) Soit S E le groupe des permutations de E, l’application
γ : G −→ S E ,
g −→ γ g
est un morphisme de groupes.
Démonstration. (i). Il est clair que pour tout élément x de E on a γ g (g −1 .x) = x,
γ g est donc surjective. D’autre part,
[γ g (x) = γ g (y)] ⇒ [g
−1 .γ g (x) = g
−1 .γ g (y)] ⇒ [x = y]
et γ g est injective.
(ii). Pour tous éléments g et h dans G et x dans E, on a
(γ g ◦ γ h )(x) = g.(h.x) = (gh).x = γ gh (x),
d’où γ g ◦ γ h = γ gh et γ est un morphisme de groupes.
Corollaire IV.1.1. La donnée d’une action d’un groupe G sur un ensemble E est
équivalente à la donnée d’un morphisme de groupes de G dans S E .
Démonstration. Compte tenu de la proposition (IV.1.1.(ii)), il suffit de prouver
que la donnée d’un morphisme de groupes f : G → S E définit une action de G
sur E. Pour tout g ∈ G et x ∈ E, on pose g.x = f (g)(x). Alors,
∀(g, h) ∈ G × G, ∀x ∈ E, g.(h.x) = f (g)(f (h)(x)) =
(f (g) ◦ f (h))(x) = f (gh)(x) = (gh).x.
De plus 1.x = id E (x) = x, donc g.x = f (g)(x) définit une action de G sur E.
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