IV
GROUPES OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
Le groupe D 4 introduit à l’exemple (I.1.2.c) est le groupe des isométries du
carré. Notons E l’ensemble des sommets du carré. Pour tout élément f de D 4 , il
est clair que l’image par f de tout élément x de E est encore un élément de E.
Autrement dit, on a une application D 4 × E → E, définie par (f, x) → f (x), qui
est compatible avec la composition des applications et telle que, si f est l’identité,
alors f (x) = x. Mais on peut également définir le groupe D 4 abstraitement (par
exemple, par sa table) ; son interprétation comme groupe des isométries du carré
permet alors, d’après ce qui précède, de considérer le groupe D 4 comme « opérant »
sur un ensemble E à quatre éléments. L’objet de ce chapitre est de formaliser ce
point de vue et de voir que cette situation permet d’obtenir des renseignements,
aussi bien sur l’ensemble sur lequel le groupe opère, que sur le groupe lui-même.
IV.1. Définitions – Exemples
Définition IV.1.1. Soit G un groupe (noté multiplicativement, d’élément
neutre 1) et soit E un ensemble non vide. Une opération à gauche de G
sur E est la donnée d’une application
G × E −→ E,
(g, x) −→ g.x
satisfaisant aux deux conditions suivantes :
(i) ∀(g 1 , g 2 ) ∈ G × G, ∀x ∈ E, (g 1 g 2 ).x = g 1 .(g 2 .x)
(ii) ∀x ∈ E, 1.x = x.
GROUPES OPÉRANT SUR UN ENSEMBLE
Le groupe D 4 introduit à l’exemple (I.1.2.c) est le groupe des isométries du
carré. Notons E l’ensemble des sommets du carré. Pour tout élément f de D 4 , il
est clair que l’image par f de tout élément x de E est encore un élément de E.
Autrement dit, on a une application D 4 × E → E, définie par (f, x) → f (x), qui
est compatible avec la composition des applications et telle que, si f est l’identité,
alors f (x) = x. Mais on peut également définir le groupe D 4 abstraitement (par
exemple, par sa table) ; son interprétation comme groupe des isométries du carré
permet alors, d’après ce qui précède, de considérer le groupe D 4 comme « opérant »
sur un ensemble E à quatre éléments. L’objet de ce chapitre est de formaliser ce
point de vue et de voir que cette situation permet d’obtenir des renseignements,
aussi bien sur l’ensemble sur lequel le groupe opère, que sur le groupe lui-même.
IV.1. Définitions – Exemples
Définition IV.1.1. Soit G un groupe (noté multiplicativement, d’élément
neutre 1) et soit E un ensemble non vide. Une opération à gauche de G
sur E est la donnée d’une application
G × E −→ E,
(g, x) −→ g.x
satisfaisant aux deux conditions suivantes :
(i) ∀(g 1 , g 2 ) ∈ G × G, ∀x ∈ E, (g 1 g 2 ).x = g 1 .(g 2 .x)
(ii) ∀x ∈ E, 1.x = x.