Partie 1 – Analyse
Disposition pratique :
•
1
0
te
t dt =
te
t
1
0
−
1
0
e
t dt
u = t
v = e
t
u = 1
v = e
t
Sous l’intégrale de départ, on écrit u et v’ tels que le produit uv’ soit la
fonction sous le signe somme. On calcule u’ et v dont le produit donne
la fonction sous l’intégrale d’arrivée.
Il reste à calculer l’intégrale d’arrivée :
I = e −
e
t
1
0
= e − (e − 1) = 1
• N’oubliez pas de mentionner – et de vérifier – que les fonctions
u et v sont de classe C
1 sur un intervalle I auquel appartiennent les
bornes a, b (I = [0 ; 1] convient dans l’exemple précédent).
• L’intégrale d’arrivée doit être plus simple que l’intégrale de départ.
Si ce n’est pas le cas, faites un autre choix pour u et v’.
• Avant de commencer une intégration par parties, vérifiez si une
autre méthode plus simple ne s’applique pas (intégration à vue).
Changement de variable
Soit I un intervalle, a et b deux éléments de I, u une fonction de
classe C
1 sur l’intervalle I, f une fonction continue sur l’intervalle
u(I).
Alors
b
a
u
(t)f (u(t) dt =
u(b)
u(a)
f (y) dy
Grâce à la notation différentielle de la dérivée (
dy
dt pour y (t) ), on utilise
facilement cette formule, qu’il est inutile de retenir telle quelle.
I =
1
0
1 +
√
x + 1
x + 1
dx
Soit y =
√
x + 1 ;
dy
dx
=
1
2
√
x + 1
=
1
2y
, donc dx = 2y dy, puis
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