Chapitre 3 – Calcul intégral
I =
√
2
1
1 + y
y 2 2ydy =
√
2
1
2
y
+ 2
dy = [2 ln y + 2y]
√
2
1
I = ln 2 + 2
√
2 − 2
Application aux intégrales de fonctions paires, impaires
Soit a > 0 et f une fonction continue sur [−a, a].
• Si f est paire sur [−a, a], alors
a
−a
f (t) dt = 2
a
0
f (t) dt
• Si f est impaire sur [−a, a] , alors
a
−a
f (t) dt = 0
En effet, d’après la relation de Chasles (voir § 3.2.3) :
a
−a
f (t) dt =
0
−a
f (t) dt +
a
0
f (t) dt
Dans la première intégrale, on fait le changement de variable y = −t :
dy
dt = −1, donc dt = − dy, donc
0
−a
f (t) dt =
0
a
f (−y) (− dy) = −
0
a
f (−y) dy =
a
0
f (−y) dy
f (−y) = f (y) si f est paire, f (−y) = −f (y) si f est impaire, ce qui
permet de conclure.
Le changement de variable à effectuer devrait vous être indiqué, sauf
s’il s’agit d’un changement de variable affine (y = at + b). Le résultat
sur les intégrales de fonctions paires ou impaires doit être connu,
ainsi que sa démonstration.
2.3 Propriétés de l’intégrale
Avec f, g continues sur I ; a, b, c ∈ I ; a, b ∈ R :
• Propriétés élémentaires
a
a
f (t) dt = 0 ;
b
a
0 dt = 0 ;
b
a
C dt = C (b − a) (C constante)
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