Partie 1 – Analyse
• Relation de Chasles
c
a
f (t) dt =
b
a
f (t) dt +
c
b
f (t) dt ;
a
b
f (t) dt = −
b
a
f (t) dt
• Linéarité
b
a
(af (t) + bg(t)) dt = a
b
a
f (t) dt + b
b
a
g(t) dt
• Positivité, croissance
− Si a b et f 0 sur [a, b], alors
b
a
f (t) dt 0
− Si a b et f g sur [a, b], alors
b
a
f (t) dt
b
a
g(t) dt
• Intégrale et valeur absolue
Si a b, alors
b
a
f (t) dt
b
a
|f (t)| dt
Tous ces résultats sont des conséquences faciles de la définition de l’intégrale. Par exemple, pour la positivité :
Si a b et f 0 sur [a, b], alors
b
a
f (t) dt = F (b) − F (a) 0,
car avec F = f 0, F est croissante.
• De la croissance de l’intégrale et de la troisième propriété élémentaire,
on déduit le résultat très souvent utilisé :
Si a b et m f M sur [a, b], alors
m (b − a)
b
a
f (t) dt M (b − a)
• De la croissance de l’intégrale et de la relation de Chasles, on déduit,
avec f continue sur I, a et b appartenant à I :
− Si f 0 et a b, alors
b
a
f (t) dt 0 ;
− Si f 0 et a b, alors
b
a
f (t) dt 0 ;
− Si f 0 et a b, alors
b
a
f (t) dt 0 ;
− Si f 0 et a b, alors
b
a
f (t) dt 0.
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