Chapitre 3 – Calcul intégral
Et dans tous ces cas, la valeur absolue de
b
a f (t) dt est égale à l’aire du
1
2
domaine plan limité par C f et les droites
(Ox), (x = a), (x = b).
Si f change de signe, par exemple
comme dans le figure ci-contre, on a
b
a
f (t) dt = Aire 1 − Aire 2
• Vous serez amené à utiliser les propriétés de positivité et de croissance de l’intégrale en appliquant le principe :
Pour majorer, minorer, encadrer une intégrale, on majore, minore,
encadre la fonction à intégrer, en veillant à ce que les bornes soient
« dans le bon sens ». Exemple :
Avec I n =
1
0
t
n
1+t 2 dt, on a 0 I n
1
n+1 . En effet :
∀t ∈ [0, 1] , 0
t
n
1+t 2 t
n , donc 0
1
0
t
n
1+t 2 dt
1
0
t
n dt =
1
n+1
• Sauf si l’énoncé vous le demande, ne cherchez pas à calculer les
valeurs des intégrales qui vous sont proposées. Ce travail est en effet
inutile pour utiliser les propriétés ci-dessus.
• Intégrale fonction de sa borne supérieure
Théorème. Soit I un intervalle, a un élément de I, f une fonction
continue sur I.
Alors l’intégrale
x
a
f (t) dt
existe pour tout x ∈ I et définit une fonction x → w(x) =
x
a
f (t) dt
de classe C
1 sur I, de dérivée x → f (x). Plus précisément, w est la
primitive de f sur I qui s’annule en a.
En effet, l’intégrale existe puisque x et a appartiennent à un même intervalle où f est continue. Les autres propriétés découlent de la définition
de l’intégrale.
Avec f continue sur I, l’écriture
f (x) dx désigne une primitive de f
sur I (attention, x n’est plus une variable muette). On peut alors utiliser
le théorème ci-dessus pour déterminer une primitive de f en utilisant le
calcul intégral (changement de variable, intégration par parties).
93