Partie 1 – Analyse
L’exemple suivant est très classique :
ln x dx = [x ln x] −
1 dx
On a effectué une intégration par parties avec
u = ln x , v
= 1 ; u
=
1
x
, v = x
u et v sont de classe C
1 sur tout segment de ]0, +∞[. Une primitive de
la fonction ln sur ]0, +∞[ est donc la fonction x → x ln x − x.
Exemple d’étude d’une fonction définie par une intégrale :
• Pour tout x ∈ R, l’intégrale w(x) =
2x
x
1
t 4 +1 dt existe car la fonction
f : t →
1
t 4 +1 est continue sur R. w est donc une fonction définie sur R.
• Si x 0, alors 0 x 2x ; f 0 sur [0, +∞[, donc w(x) 0.
Si x 0, alors 2x x 0 ; f 0 sur ]−∞, 0], donc w(x) 0.
w (0) = 0.
• Le changement de variable y = −t montre que w est une fonction
impaire (t = −y, dt = − dy) :
∀x ∈ R, w (−x) =
−2x
−x
1
t 4 +1 dt = −
2x
x
1
(−y) 4 +1
dy = −w(x)
On étudie donc w sur [0, +∞[.
• Pour tout x ∈ R, par définition de l’intégrale,
w(x) =
2x
x
1
t 4 +1 dt = F(2x) − F(x) avec F primitive de f sur R.
− Ceci permet de préciser le signe de w(x) : F = f > 0 donc F est
strictement croissante ; si x > 0, alors x < 2x, F(x) < F(2x), w(x) > 0 ;
si x < 0, alors x > 2x , F(x) > F(2x) , w(x) < 0.
− Ceci permet aussi d’établir que w est une fonction dérivable sur R,
en tant que somme de deux fonctions dérivables sur R, la fonction
x → F(2x) étant elle-même dérivable en tant que composée de deux
fonctions dérivables ; on obtient
∀x ∈ R, w
(x) = 2f (2x) − f (x) =
1 − 14x
4
16x 4 + 1
x 4 + 1
w est donc strictement croissante sur
0, 14
−
1
4
, strictement décroissante sur
14
−
1
4 , +∞
.
• Pour la limite en +∞, on encadre l’intégrale
2x
x
f (t) dt, et pour cela
on encadre la fonction f sur [x, 2x]. Or f est décroissante sur [0, +∞[,
94