Chapitre 3 – Calcul intégral
donc : ∀t ∈ [x, 2x] , f (2x) f (t) f (x), puis
f (2x) (2x − x)
2x
x
f (t) dt f (x) (2x − x)
x
16x 4 + 1
w(x)
x
x 4 + 1
et par conséquent, lim
+∞
w = 0. w étant impaire, la limite de w en −∞
est aussi égale à 0.
2.4 Sommes de Riemann
Très souvent, on ne peut pas trouver la valeur exacte d’une intégrale
définie, faute par exemple de pouvoir obtenir une expression explicite
d’une primitive de la fonction à intégrer. On doit alors se contenter de
chercher des valeurs approchées de l’intégrale. Les sommes de Riemann
constituent un premier pas dans cette recherche.
Théorème. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b].
Alors
lim
n→+∞
b − a
n
n−1
k=0
f
a + k
b − a
n
=
b
a
f (t) dt
lim
n→+∞
b − a
n
n
k=1
f
a + k
b − a
n
=
b
a
f (t) dt
Ce théorème est admis dans le cas général. Voici les éléments de sa
démonstration quand f est de classe C
1 sur [a, b] :
• f ’ est alors continue sur [a, b], donc d’après §1.2.4 , il existe m et M
dans R tel que m f (t) M pour tout t dans [a, b] ;
• Soit d n =
b−a
n , a k = a + kd n , a k t a k+1 . La formule des accroissements finis fournit :
m (t − a k ) f (t) − f (a k ) M (t − a k )
donc
f (a k ) + m (t − a k ) f (t) f (a k ) + M (t − a k )
On intègre sur [a k , a k+1 ] :
d n f (a k ) +
m
2
d
2
n
ak+1
ak
f (t) dt d n f (a k ) +
M
2
d
2
n
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