Partie 1 – Analyse
On additionne ces inégalités, pour k variant de 0 à n − 1. En posant
S n = d n
n−1
k=0 f (a k ), il vient :
S n +
m
2
(b − a)
2
n
b
a
f (t) dt S n +
M
2
(b − a)
2
n
m
2
(b − a)
2
n
b
a
f (t) dt − S n
M
2
(b − a)
2
n
D’où la première formule, en passant à la limite. On procède de même
pour la deuxième formule.
On peut facilement définir une fonction PASCAL qui évalue la
somme de Riemann S n =
b−a
n
n−1
k=0 f
a + k
b−a
n
. Cette fonction
evalsom aura pour paramètres ¸¸ de type réel, et Ò de type entier.
La fonction f est définie d’autre part.
ÙÒÒØØÓÒ ÚÚÐ×ÓÑ´´¸¸¸ÖÖÖÐ Ò ÒØØØØÖµ ÖÖÖÐ
ÚÚÖ ÒØØØØÖ {variable locale de sommation};
ËËÖÖÖÐ {variable locale pour la somme}
Ò
ËË˼
ÓÖ ¼ ØÓ Ò¹½ Ó ËËËË··´´··¶´´¹¹µ»Òµµ
ÚÚÐ×ÓÑÑÑ˶´´¹¹µ»ÒÒ
ÒÒÒ
2.5 Formules de Taylor
Formule de Taylor avec reste intégral
Théorème. Soit I un intervalle, a un élément de I, n ∈ N, f une
fonction de classe C
n+1 sur I.
Alors, pour tout x appartenant à I :
f (x) =
n
k=0
(x − a)
k
k!
f
(k) (a) +
x
a
(x − t)
n
n!
f
(n+1) (t) dt
Démonstration par récurrence : la formule est vraie pour n = 0, car
x
a
f
(t) dt = f (x) − f (a)
Supposons la formule vraie pour n fixé dans N, et soit f de classe
C
n+2 sur I. On effectue une intégration par parties sur l’intégrale, avec
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