Chapitre 3 – Calcul intégral
u = f
(n+1) , v =
(x−t) n
n! , u = f
(n+2) , v = −
(x−t) n+1
(n+1)! . u et v sont de classe
C
1 sur I, et on obtient la formule à l’ordre n + 1. Le théorème est ainsi
démontré.
Inégalité de Taylor-Lagrange
Théorème. Soit I un intervalle, a un élément de I, n ∈ N, f une
fonction de classe C
n+1 sur I. Alors, pour tout x appartenant à I :
f (x) −
n
k=0
(x − a)
k
k!
f
(k) (a)
M
|x − a|
n+1
(n + 1)!
Avec M majorant de
f
(n+1)
sur un intervalle contenant a et x.
Il suffit de majorer le reste intégral de la formule précédente, pour obtenir ce résultat. Si a x :
x
a
(x−t) n
n! f
(n+1) (t) dt
x
a
(x−t) n
n! |f
(n+1) (t)| dt M
x
a
(x−t) n
n!
dt = M
(x−a) n+1
(n+1)!
On a utilisé
b
a
f (t) dt
b
a
|f (t)| dt, valable pour a b.
Si a x, il faut remettre les bornes « dans le bon sens » :
x
a
(x−t) n
n! f
(n+1) (t) dt
=
a
x
(x−t) n
n! f
(n+1) (t) dt
M
a
x
(t−x) n
n!
dt = M
(a−x) n+1
(n+1)!
D’où la conclusion, dans les deux cas.
Applications
• L’inégalité de Taylor Lagrange permet de trouver les trois développements limités à retenir, voir § 1.1.5. Par exemple, pour l’exponentielle,
cette formule fournit : (x ∈ I segment contenant 0)
e
x
−
n
k=0
x
k
k!
M
|x|
n+1
(n + 1)!
avec M majorant de e
x sur I. Ceci montre que g(x) = e
x
−
n
k=0
x
k
k!
est une fonction négligeable devant x
n quand x tend vers 0, car
g(x)
x n
M
|x|
(n+1)! . On a donc bien, pour tout n ∈ N :
e
x
=
n
k=0
x
k
k!
+ ◦ (x
n )
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