Partie 1 – Analyse
• Développement en série de e
x . Appliquons l’inégalité de TaylorLagrange avec f (x) = e
x , a = 0. Si x 0, |f
(n+1) (t)| = e
t est majoré par
e
x sur [0, x], donc
e
x
−
n
k=0
x
k
k!
e
x x
n+1
(n + 1)!
Et il suffit de montrer que
x
n
n!
converge vers 0 pour conclure. Or,
pour x 0 fixé, il existe n 0 ∈ N tel que
x
n0
1
2 . Donc, pour tout
n > n 0 , on a 0
x
n
1
2 , donc
0
x
n
n!
=
x
n0
n 0 !
×
x
n−n0
(n 0 + 1) . . . n
x
n0
n 0 !
×
1
2
n−n0
− −−− →
n→+∞
0
D’où la conclusion dans ce cas là. Si x < 0, alors |f
(n+1) (t)| = e
t est
majoré par 1 sur ]−∞, 0], et la suite est analogue. On a bien établi :
∀x ∈ R, e
x
=
+∞
n=0
x
n
n!
• La formule de Taylor avec reste intégral appliquée à la fonction exponentielle permet d’établir :
∀x ∈ [0, +∞[ , ∀n ∈ N, e
x
n
k=0
x
k
k!
;
∀x ∈ ]−∞, 0] , ∀p ∈ N
∗ ,
2p−1
k=0
x
k
k!
e
x
2p
k=0
x
k
k!
.
Il suffit d’étudier le signe du reste intégral.
3. Intégrales généralisées
Si la fonction f est continue sur le segment [a, b], on sait définir l’intégrale
b
a f (t) dt. Cette définition peut être dans certains cas étendue.
3.1 Intégrale d’une fonction continue par morceaux
sur [a, b]
Définition. On dit que la fonction f est continue par morceaux sur
l’intervalle I ssi f est continue sauf en un nombre fini de points, où f
admet une limite finie à droite et à gauche.
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