Chapitre 3 – Calcul intégral
Théorème. Soit f une fonction continue sur l’intervalle [a, b[, et
prolongeable par continuité en b. Alors la fonction x →
x
a
f (t) dt
admet une limite finie en b, et on pose :
b
a
f (t) dt = lim
x→b, x x
a
f (t) dt
On a un théorème analogue pour f continue sur ]a, b], prolongeable par
continuité en a.
Ce théorème permet de définir l’intégrale
b
a
f (t) dt , avec f continue par
morceaux sur l’intervalle [a, b]. Supposons en effet, pour fixer les idées,
que f soit continue sur [a, b] sauf en c, où f admet une limite finie à
gauche et à droite. Alors on définit l’intégrale
b
a
f (t) dt en utilisant la
relation de Chasles pour poser :
b
a
f (t) dt =
c
a
f (t) dt +
b
c
f (t) dt
Chacune des intégrales du membre de droite existe, d’après le théorème
précédent.
Intégrale
3
0
Ent(x) dx. La fonction partie entière Ent (§1.5.3) est continue par morceaux sur [0, 3], donc l’intégrale existe, et
3
0
Ent(x) dx =
1
0
0 dx +
2
1
1 dx +
3
2
2 dx = 0 + 1 + 2 = 3
3.2 Intégrale d’une fonction continue sur ]a, b] ou sur [a, b[
L’existence de l’intégrale n’est alors plus assurée.
Définitions
Soit a, b ∈ R, a < b, et f une fonction continue sur ]a, b]. On pose
b
a
f (t) dt = lim
x→a, x>a
b
x
f (t) dt sous réserve de limite finie,
et on dit alors que l’intégrale généralisée (ou impropre)
b
a
f (t) dt est
convergente. Dans le cas contraire, on dit qu’elle est divergente.
On définit de même, avec f continue sur [a, b[ :
b
a
f (t) dt = lim
x→b, x x
a
f (t) dt sous réserve de limite finie
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